N¨²meros a la parrilla

EL PA?S recupera este verano su secci¨®n de desaf¨ªos matem¨¢ticos. De la mano de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola publicaremos cada jueves hasta final de agosto un problema e invitaremos a nuestros lectores a resolverlo antes de las 00.00 del martes siguiente. Ese d¨ªa daremos el nombre del ganador, que elegiremos por sorteo de entre los acertantes y que obtendr¨¢ como premio la colecci¨®n de libros Grandes Ideas de la Ciencia.

Nuestro primer desaf¨ªo lo presenta Adolfo Quir¨®s, viejo conocido de los aficionados a esta secci¨®n, impulsor de los desaf¨ªos, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y vicepresidente de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Adem¨¢s de plantear el problema, Quir¨®s ha organizado el resto de los retos y nos acompa?ar¨¢ este verano como coordinador de los mismos.

Las soluciones deber¨¢n enviarse al correo electr¨®nico desafiodeagosto1@gmail.com antes de las 00.00 del martes 5 de agosto (medianoche del lunes al martes). Para considerar como v¨¢lida una respuesta no basta con que la soluci¨®n sea la correcta, hay que explicar c¨®mo se ha llegado a ella.

Para evitar errores y en atenci¨®n a nuestros lectores sordos, adem¨¢s del v¨ªdeo donde se plantea el desaf¨ªo, publicamos a continuaci¨®n el enunciado por escrito:

Empezamos con una parrilla 4x4 que en cada casilla tiene un 1 o un -1. El juego consiste en cambiar los valores de algunas casillas, siguiendo las reglas que se dar¨¢n, y se gana si se consigue que haya un 1 en todas las casillas.

Se puede jugar con dos reglamentos distintos:

-Reglamento ACB (el m¨¢s estricto): se pueden cambiar simult¨¢neamente los valores de todas las casillas de una fila, de una columna, o de una de las dos diagonales.

-Reglamento NBA (m¨¢s laxo): adem¨¢s de los movimientos autorizados por las reglas ACB, son tambi¨¦n v¨¢lidos los movimientos que consisten en cambiar simult¨¢neamente los valores de todas las casillas de una recta paralela a una de las dos diagonales, incluido cambiar s¨®lo el valor de una esquina.

Consideramos dos situaciones iniciales que pueden verse en esta figura

Para cada una de ellas nos preguntamos si se puede ganar, y c¨®mo, con cada una de los reglamentos. As¨ª que el desaf¨ªo es cu¨¢druple: para cada una de las dos posiciones iniciales, y con cada uno de los dos reglamentos, dar la cadena de movimientos que permite ganar la partida o demostrar por qu¨¦ no se puede.