La terrible dinast¨ªa de los n¨²meros transfinitos

Como vimos la semana pasada, la diagonal del cuadrado llev¨® a los pitag¨®ricos al perturbador descubrimiento de los n¨²meros irracionales. La demostraci¨®n de que ¡Ì2 no puede expresarse mediante una fracci¨®n es tan ingeniosa como sencilla por el m¨¦todo de reducci¨®n al absurdo, es decir, viendo que el supuesto contrario lleva a una contradicci¨®n:

Supongamos que la ra¨ªz cuadrada de 2 se puede expresar mediante una fracci¨®n, o sea, que ¡Ì2 = a/b, donde a y b son n¨²meros enteros y no son los dos pares (pues entonces podr¨ªamos simplificar la fracci¨®n dividi¨¦ndolos ambos por 2). Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad tenemos que 2 = a²/b², de donde a² = 2b², luego a² es par y, por ende, tambi¨¦n a, luego podemos expresar a de la forma a = 2n, donde n es un n¨²mero entero, y por lo tanto a² = (2n)² = 4n² = 2b², por lo que b tambi¨¦n es par, lo que contradice la premisa inicial.

Es f¨¢cil construir un n¨²mero trascendente mediante pautas no repetitivas; por ejemplo: 0,123456789101112131415¡­, o 0,235711131719¡­ En el primer caso escribimos los n¨²meros naturales uno a continuaci¨®n de otro, y en el segundo hacemos lo mismo con los primos.

El infinito y m¨¢s all¨¢

Dos mil quinientos a?os despu¨¦s de la conmoci¨®n causada por la diagonal del cuadrado y su ¡°monstruosa¡± irracionalidad, otra diagonal conmocion¨® el mundo matem¨¢tico con no menos violencia: la diagonal de Cantor. Y una vez m¨¢s fue el m¨¦todo de reducci¨®n al absurdo o contradicci¨®n de la premisa lo que lo llev¨® a su desconcertante conclusi¨®n. Cantor imagin¨® que la lista completa de los irracionales ya estaba confeccionada y se dio cuenta de que pod¨ªa formar un nuevo irracional tomando el primer d¨ªgito del primer n¨²mero y a?adi¨¦ndole 1 y haciendo lo mismo con el segundo d¨ªgito del segundo n¨²mero, con el tercero del tercer n¨²mero y as¨ª sucesiva e indefinidamente; de este modo, tendr¨ªa un n¨²mero diferente de todos y cada uno de los de la lista en al menos un d¨ªgito, y que, por tanto, no estar¨ªa en ella, en contra de la premisa de una lista completa. Esto equivale a decir que los n¨²meros irracionales no son numerables, y por tanto son ¡°m¨¢s infinitos¡± que los naturales.

Y eso solo era el principio. El ¡°superinfinito¡± de los irracionales no es sino el primer nivel de una infinita jerarqu¨ªa -una ¡°terrible dinast¨ªa¡±, como la denomin¨® Borges- de infinitos de nivel cada vez mayor, a los que Cantor denomin¨® transfinitos y design¨® con la letra hebrea ¨¢lef (de ah¨ª el t¨ªtulo del famoso relato de Borges).

Y hablando de infinitos, ya hemos visto que el n¨²mero de libros escribibles con nuestro alfabeto es inmenso, pero finito. Pero ?y si inventamos otros alfabetos? ?Es infinito el n¨²mero de libros escribibles con todos los alfabetos imaginables?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.