Un puente matem¨¢tico entre los billares, los gases y el algoritmo de Google

A escala humana, los gases se comportan de manera bastante pac¨ªfica: en un fluido estable, de media, el desplazamiento de las part¨ªculas es cero. Sin embargo, la situaci¨®n es muy diferente a escala microsc¨®pica. Si pudi¨¦ramos seguir el movimiento de una sola part¨ªcula de aire, dibujar¨ªa una trayectoria muy err¨¢tica, simplemente porque no dejar¨ªa de chocarse con otras part¨ªculas. El paso de esta imagen a la descripci¨®n de la evoluci¨®n global de las leyes de los gases se estudia en una rama de la f¨ªsica llamada mec¨¢nica estad¨ªstica, y demostrar de forma rigurosa estos resultados supone un problema matem¨¢tico notablemente dif¨ªcil.

Una de las claves para entender el comportamiento de las part¨ªculas de un gas es la teor¨ªa del caos. El concepto de caos fue introducido a comienzos del siglo XX por el matem¨¢tico Henri Poincar¨¦. Mientras que estudiaba el movimiento de los planetas, Poincar¨¦ descubri¨® que peque?as causas pod¨ªan tener consecuencias enormes. Esto, de alguna manera, acab¨® con la corriente filos¨®fica del determinismo, muy popular a finales del s. XIX, ya que, aunque en teor¨ªa es posible calcular de forma precisa el futuro de un sistema ca¨®tico, su sensibilidad a las medidas iniciales hace que sea impredecible en la pr¨¢ctica.

En aquel texto visionario, Poincar¨¦ fue un poco m¨¢s all¨¢ y observ¨® que el caos era precisamente la fuente de la aleatoriedad. Esto significaba que los fen¨®menos ca¨®ticos pod¨ªan predecirse de forma precisa desde un punto de vista estad¨ªstico. Por ejemplo, una tirada de un dado es puramente determinista y ca¨®tica, pero queda muy bien descrita por la probabilidad b¨¢sica.

Entonces, ?ser¨ªa posible describir tambi¨¦n el comportamiento de las part¨ªculas de un gas con probabilidades? Para empezar a entender un fen¨®meno tan complejo, a los matem¨¢ticos les gusta jugar con lo que llaman un ¡°modelo de juguete¡±, que es una configuraci¨®n simplificada en la que se supone que los teoremas son m¨¢s f¨¢ciles de demostrar. Para los gases, uno de los m¨¢s estudiados son los billares. En este modelo se parte de una mesa de billar, con cualquier forma imaginable, en la que se tira una bola. La bola rueda sin fricci¨®n por la mesa, chocando con los lados, seg¨²n determina la ley de reflexi¨®n ¨Cno se puede dar efecto a las bolas¨C.

La pregunta es, ?la posici¨®n de las bolas parecer¨¢ aleatoria, tal y como suced¨ªa antes con el dado, despu¨¦s de un cierto tiempo?

En este sencillo modelo, las bolas ¨Cque representan part¨ªculas de un gas movi¨¦ndose dentro de una caja con una forma concreta¨C siguen desliz¨¢ndose sobre la mesa para siempre. La pregunta es, ?la posici¨®n de las bolas parecer¨¢ aleatoria, tal y como suced¨ªa antes con el dado, despu¨¦s de un cierto tiempo? M¨¢s concretamente, ?es posible que despu¨¦s de un n¨²mero de choques, la posici¨®n inicial de la bola, la direcci¨®n y la precisi¨®n del lanzamiento no ofrezcan ninguna informaci¨®n sobre la posici¨®n en la que queda la bola? El objetivo es determinar cu¨¢l es ese n¨²mero de choques a partir del cual la posici¨®n de la bola queda bien descrita por probabilidades.

Recientemente, con la ayuda de herramientas matem¨¢ticas desarrolladas en las ¨²ltimas cinco d¨¦cadas, un grupo de matem¨¢ticos ha demostrado que, para toda una familia de formas de mesas, despu¨¦s de tan solo unos pocos choques la posici¨®n de la bola parece totalmente aleatoria. Esta propiedad es parte de la llamada hip¨®tesis erg¨®dica, que es el punto inicial para deducir las leyes globales de evoluci¨®n de los gases a partir de modelos microsc¨®picos.

La idea clave en la demostraci¨®n anterior es emplear el teorema de Perron-Frobenius ¨Cuna cuesti¨®n de matem¨¢tica pura propuesta hace m¨¢s de un siglo¨C que usa la probabilidad de transici¨®n de una parte de la tabla a otra. Sorprendentemente, este mismo teorema se puede aplicar a la estructura de la web. En este caso, la probabilidad de pasar de una p¨¢gina a otra depende del n¨²mero de links que van de la primera a la segunda. El teorema te proporciona la distribuci¨®n de probabilidad de un usuario que est¨¦ pulsando aleatoriamente links, y puede ser usada para clasificar p¨¢ginas: una web ser¨¢ considerada importante si recibe muchas visitas de este tipo de usuarios. El algoritmo obtenido, desarrollado por Larry Page, se llama PageRank, y est¨¢ en el origen del ¨¦xito del motor de b¨²squeda Google. De nuevo, este es otro ejemplo de la utilidad de la investigaci¨®n fundamental en matem¨¢ticas, que produce herramientas aplicables tanto a la f¨ªsica te¨®rica como a la creaci¨®n de un gigante tecnol¨®gico.

Pierre-Antoine Guih¨¦neuf es investigador en el Instituto de Matem¨¢ticas de Jussieu-Paris Rive Gauche de la Universidad de la Sorbona

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter, Instagram o suscribirte aqu¨ª a nuestra newsletter