Prisioneros problem¨¢ticos

El problema de las bolas blancas y negras, planteado hace tres semanas, suscit¨® un intenso e interesante debate que puso de manifiesto, una vez m¨¢s, lo enga?osas y contraintuitivas que pueden ser las estimaciones probabil¨ªsticas. Dicho problema est¨¢ emparentado con otro que, a primera vista, parece totalmente distinto, pero no lo es tanto: Tres prisioneros, a los que llamaremos Alberto, Bernardo y Carlos, saben que uno de ellos va a ser indultado, pero no saben cu¨¢l de los tres. Alberto soborna al carcelero para que le diga el nombre de uno de sus compa?eros de infortunio que no vaya a ser indultado. El carcelero acepta el soborno y le dice: ¡°Bernardo no va a ser indultado¡±. Alberto se siente algo mejor, pues piensa que ahora su probabilidad de ser indultado es del cincuenta por ciento, ya que solo hay dos candidatos: Carlos y ¨¦l. ?Est¨¢ justificado su alivio? Y suponiendo que Carlos se enterara de lo que ha dicho el carcelero, ?podr¨ªa sentirse tan comparativamente aliviado como Alberto?

El problema de los 100 prisioneros

No se puede hablar de problemas de presos sin mencionar algunos cl¨¢sicos, como el famoso dilema del prisionero, o el acertijo de los tres sombreros blancos y los dos sombreros negros, o el de los 100 prisioneros y los 100 cajones numerados. De momento, nos ocuparemos de este ¨²ltimo: En una c¨¢rcel hay 100 prisioneros condenados a muerte, cada uno de ellos con un n¨²mero distinto, del 1 al 100, en su uniforme carcelario. En un despacho de la c¨¢rcel hay un casillero con 100 cajones, tambi¨¦n numerados del 1 al 100, y en cada caj¨®n hay una tarjeta con un n¨²mero, tambi¨¦n del 1 al 100, que no tiene por qu¨¦ coincidir con el n¨²mero del caj¨®n que la contiene, puesto que las tarjetas han sido distribuidas al azar. El director de la c¨¢rcel les propone el siguiente juego: cada prisionero, por separado, entrar¨¢ en el despacho del casillero y podr¨¢ abrir como m¨¢ximo 50 cajones para encontrar la tarjeta con el mismo n¨²mero de su uniforme, y antes de salir volver¨¢ a cerrar todos los cajones. Si todos los presos encuentran su n¨²mero, todos ser¨¢n indultados; pero bastar¨¢ con que uno de ellos no encuentre su n¨²mero para que todos sean ejecutados.

La probabilidad de que un preso encuentre su n¨²mero abriendo la mitad de los cajones es, obviamente, 1/2, por lo que la probabilidad de que todos ellos lo consigan es de 1/2 elevado a la potencia 100, menor de una en un quintill¨®n, o sea, pr¨¢cticamente nula. Los presos no pueden comunicarse una vez empezado el juego, pero pueden acordar una estrategia antes de empezar. Y, de hecho, hay una estrategia que hace que la probabilidad de ¨¦xito sea superior al 30 %. ?Cu¨¢l es?

Este es el planteamiento original del problema, tal como lo formularon en 2003 los inform¨¢ticos daneses Anna Gal y Peter Bro Miltersen; pero sugiero a mis sagaces lectoras/es que empiecen intentando resolverlo con menos prisioneros y cajones: 2, 4, 6, 8¡­ (siempre n¨²mero par, por lo de abrir la mitad de los cajones). Es evidente que reduciendo el n¨²mero de presos y cajones se simplifica el problema y aumenta la probabilidad de que los condenados se salven; pero ?qu¨¦ pasar¨ªa si lo aument¨¢ramos? ?Disminuir¨¢ la probabilidad de salvarse cuantos m¨¢s prisioneros y cajones haya?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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