La conservaci¨®n de la energ¨ªa

Los problemas de la semana pasada se prestan a una sencilla y eficaz generalizaci¨®n: siempre que un objeto parte de una determinada altura y llega hasta el suelo por acci¨®n de la gravedad, podemos calcular la velocidad a la que ¡°aterriza¡± sin m¨¢s que tener en cuenta que, por la ley de la conservaci¨®n de la energ¨ªa, su energ¨ªa cin¨¦tica ha de ser igual a la energ¨ªa potencial que ten¨ªa en la posici¨®n de partida, independientemente del camino que haya seguido para llegar al suelo (y siempre, claro est¨¢, que no haya una p¨¦rdida significativa de energ¨ªa por rozamiento, rotaci¨®n o resistencia del aire).

En el caso del huevo, puesto que est¨¢ a una altura de 10 metros sobre el suelo (8 correspondientes a la fachada de la casa y 2 al tejado), su energ¨ªa potencial es 10mg (siendo m la masa del huevo y g la gravedad) y su energ¨ªa cin¨¦tica es mv?/2; igualando ambas energ¨ªas:

10mg = mv?/2

v = ¡Ì20g = 14 m/s

El de la cuerda es un poco m¨¢s complicado, pues hay un tramo vertical de 2 metros cuyo centro de gravedad est¨¢ a 7 metros del suelo y un tramo inclinado de 4 metros cuyo centro de gravedad est¨¢ a 9 metros del suelo. Y en el momento en que el extremo inferior de la cuerda toca tierra, tenemos un ¨²nico tramo vertical de 6 metros cuyo centro de gravedad est¨¢ a 3 metros del suelo. Al igualar la energ¨ªa potencial y la cin¨¦tica, la masa de la cuerda desaparece de la ecuaci¨®n, por lo que podemos considerar que su densidad es 1 y que la longitud de cada tramo equivale a su masa; por lo tanto:

2(7-3)g + 4(9-3)g = 6v?/2

v = 10.2 m/s

Pero ?por qu¨¦ la energ¨ªa potencial de un cuerpo a una altura h es mgh? Porque, por la ley de la conservaci¨®n de la energ¨ªa, es igual al trabajo necesario para subir ese cuerpo de masa m a una altura h, y el trabajo (W, del ingl¨¦s Work) es igual a la fuerza aplicada por la distancia recorrida:

W = F.d

Cuando se eleva un cuerpo de masa m a una altura h, la distancia recorrida es dicha altura y la fuerza aplicada es igual al peso del cuerpo, mg, de ah¨ª la f¨®rmula E?= mgh.

La f¨®rmula de la energ¨ªa cin¨¦tica, E? = mv?/2, se obtiene mediante consideraciones similares. Sabiendo que el espacio recorrido por un cuerpo que cae durante un tiempo t es gt?/2, invito a mis sagaces lectoras/es a demostrar la f¨®rmula de la energ¨ªa cin¨¦tica. Obs¨¦rvese que, al contrario de la energ¨ªa potencial, la energ¨ªa cin¨¦tica es independiente de la gravedad (o, en general, de la aceleraci¨®n): lo ¨²nico que cuenta es la velocidad del cuerpo en el momento de determinar dicha energ¨ªa.

Una f¨®rmula luminosa

Las consideraciones anteriores se basan en la ley de la conservaci¨®n de la energ¨ªa; pero con la irrupci¨®n de la relatividad, a principios del siglo pasado, dicha ley -as¨ª como su complementaria, la ley de la conservaci¨®n de la materia- se ha de matizar teniendo en cuenta la equivalencia materia-energ¨ªa.

Incluso los lectores sin conocimientos de f¨ªsica habr¨¢n observado la similitud de la f¨®rmula E? = mv?/2 con la m¨¢s famosa de todas las f¨®rmulas: E = mc?, donde c es la velocidad de la luz y E el equivalente en energ¨ªa de un cuerpo de masa m, equivalencia que explica la enorme liberaci¨®n de energ¨ªa que supone la destrucci¨®n de una peque?a cantidad de materia en una reacci¨®n nuclear. ?Qu¨¦ lectura ¡°ingenua¡± (pero interesante) podr¨ªa hacer de la f¨®rmula de Einstein alguien que la viera por primera vez y desconociera la relatividad?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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