Para mojarnos menos bajo la lluvia, ?es mejor caminar o correr?

Est¨¢ en la calle, el tiempo es incierto y empieza a llover, aunque no lleva paraguas. Su primer reflejo es inclinarse hacia delante y acelerar el paso, ?no? As¨ª cree que se mojar¨¢ lo menos posible. Incluso puede aceptar mojarse m¨¢s con tal de que no dure tanto.

?Est¨¢ justificado este comportamiento? ?Es posible construir un modelo para responder a esta pregunta tan importante? En concreto, ?depende la cantidad de agua recibida de la velocidad? ?Existe una velocidad tal que la cantidad de agua recibida para ir de un lugar a otro sea m¨ªnima?

El efecto de inclinaci¨®n y la velocidad

Para responder a estas preguntas, simplifiquemos las cosas, pero conservando los elementos importantes de la situaci¨®n. Consideremos una lluvia homog¨¦nea que cae verticalmente. Esquem¨¢ticamente, podemos considerar que el caminante presenta superficies verticales (la parte delantera y trasera del cuerpo) y horizontales (la cabeza y los hombros) a la lluvia.

En primer lugar, veamos las superficies verticales. Cuanto m¨¢s r¨¢pido caminemos, m¨¢s gotas caer¨¢n sobre nosotros. Desde nuestro punto de vista, las gotas caen en ¨¢ngulo, con una componente de velocidad exactamente igual a nuestra propia velocidad al caminar: cuanto m¨¢s r¨¢pido vayamos, m¨¢s gotas recibiremos. Pero cuanto m¨¢s velozmente caminemos, tardaremos menos tiempo en ir de un punto a otro. As¨ª que los dos efectos se anulan: m¨¢s gotas por unidad de tiempo, pero menos tiempo de lluvia.

?Y qu¨¦ ocurre con las superficies horizontales? Cuando el viandante est¨¢ parado, la lluvia cae s¨®lo sobre estas superficies. Cuando le observamos caminar, vemos que recibe gotas que antes pasaban por delante de ¨¦l, pero ya no recibe gotas que ahora pasan por detr¨¢s: en total, por unidad de tiempo, recibe una cantidad de lluvia sobre estas superficies horizontales que es independiente de su velocidad de marcha. Pero como la duraci¨®n total del recorrido disminuye al aumentar la velocidad, la cantidad de agua recibida en las superficies horizontales ser¨¢ menor.

En definitiva, es una buena idea caminar m¨¢s r¨¢pido.

El problema en t¨¦rminos matem¨¢ticos

Para aquellos a los que les guste el enfoque matem¨¢tico de las cosas, aqu¨ª tienen una explicaci¨®n que les satisfar¨¢:

Denotemos por ¦Ñ el n¨²mero de gotas por unidad de volumen y por a su velocidad vertical. Denotemos por Sh la superficie horizontal del individuo y por Sv su superficie vertical.

Si estamos parados, la lluvia solo caer¨¢ sobre nuestra cabeza y nuestros hombros, por lo que esta es la cantidad de agua que cae sobre la superficie Sh.

Aunque la lluvia caiga verticalmente, desde el punto de vista de un caminante que se desplaza a una velocidad v, llega oblicuamente, en una direcci¨®n que depende de la velocidad v.

Durante un intervalo de tiempo T, una gota recorre una distancia a*T. As¨ª, todas las gotas que se encuentren a una distancia menor llegar¨¢n a esta superficie: son las gotas del cilindro de base Sh y altura a*T, es decir: ¦Ñ*Sh*a*T

Como hemos visto, al avanzar, las gotas parecen moverse a una velocidad oblicua, que resulta de la composici¨®n de la velocidad a y la velocidad v. El n¨²mero de gotas que llegan a Sh no cambia, porque la velocidad v es horizontal y, por tanto, paralela a Sh.

En cambio, el n¨²mero de gotas que alcanzan la superficie Sv, que era nulo cuando el caminante estaba parado, es ahora igual al n¨²mero de gotas contenidas en un cilindro (horizontal) de base Sv y longitud v*T, ya que esta longitud representa la distancia horizontal recorrida por las gotas durante este intervalo de tiempo.

En total, el caminante recibe un n¨²mero de gotas dado por la expresi¨®n: ¦Ñ*(Sh*a + Sv*v)*T

Ahora hay que tener en cuenta el intervalo de tiempo durante el cual el caminante se mojar¨¢. Si tiene que recorrer una distancia d a una velocidad constante v, el intervalo de tiempo viene dado por el cociente d/v (lo que obviamente supone que v no es cero). Trasladando esto a la expresi¨®n anterior, obtenemos el resultado final: ¦Ñ(Sh*a + Sv*v)*d/v = ¦Ñ(Sh*a/v + Sv)*d

Por tanto, obtenemos el siguiente doble resultado:

• Por un lado, la cantidad de agua recibida en la cabeza y los hombros es menor cuanto mayor es la velocidad.
• Por otro lado, la cantidad de agua recibida en la parte vertical del cuerpo es independiente de la velocidad, ya que la reducci¨®n del tiempo de recorrido se compensa exactamente con el aumento del n¨²mero de gotas recibidas.

Moraleja: es buena idea inclinarse y correr. Pero atenci¨®n: agacharse aumenta la superficie horizontal a merced de la lluvia; por lo que este aumento debe compensarse con el aumento de la velocidad.

Jacques Treiner es F¨ªsico te¨®rico en la Universit¨¦ Paris Cit¨¦.

Este art¨ªculo fue publicado originalmente en The Conversation.