C¨®mo garantizar un premio en la Loter¨ªa de Reino Unido (aunque no merezca la pena)

Hace algunos meses, varios medios de comunicaci¨®n, tanto publicaciones reputadas como tabloides, afirmaron que solo hace falta comprar 27 billetes para asegurarse de obtener un premio en la Loter¨ªa Nacional del Reino Unido. Dado que se acerca la Loter¨ªa de Navidad, es un buen momento para abordar las matem¨¢ticas detr¨¢s de estos titulares. La noticia se basaba en un reciente avance en combinatoria propuesto por David Cushing y David Stewart, matem¨¢ticos de la Universidad de Manchester. Su trabajo, en proceso de revisi¨®n por pares y disponible como preprint, involucra unos interesantes objetos combinatorios llamados dise?os de loter¨ªa, que son colecciones de subconjuntos de los n¨²meros del 1 al n. Por ejemplo, si consideramos los n¨²meros {1, 2, 3}, una colecci¨®n de tres subconjuntos ser¨ªa {{1}, {2, 3}, {3}}. Para ser un dise?o de loter¨ªa, esta colecci¨®n debe cumplir otras propiedades a?adidas.

En concreto, un dise?o de loter¨ªa para los par¨¢metros n, k, y t es una colecci¨®n C de subconjuntos de k elementos de V = {1, 2, ..., n} en la que, si tomamos cualquier subconjunto W de k elementos de V, hay un subconjunto de C que comparte, al menos, t elementos en com¨²n con W. Si se considera una loter¨ªa donde se extraen k n¨²meros ganadores de un total de n n¨²meros, cada billete corresponde con uno de estos subconjuntos. Entonces, un dise?o de loter¨ªa es un conjunto de tickets necesario para tener garantizados al menos t n¨²meros en com¨²n con los n¨²meros del billete ganador.

Naturalmente, un dise?o de loter¨ªa ideal es aquel que utiliza el menor n¨²mero posible de billetes. Este n¨²mero m¨ªnimo se denota como L(n,k,t). Por ejemplo, L(56,6,2) es la menor cantidad de boletos que se necesitar¨ªan para asegurar al menos dos n¨²meros coincidentes en una loter¨ªa donde se extraen seis n¨²meros ganadores de 56. As¨ª es c¨®mo funciona la Loter¨ªa Nacional del Reino Unido y c¨®mo se gana el menor premio, por lo que L(56,6,2) es precisamente la menor cantidad de boletos necesarios para garantizar alg¨²n premio en esta loter¨ªa. El resultado de Cushing y Stewart dice que este n¨²mero es igual a 27.

En general, es extremadamente dif¨ªcil encontrar los valores exactos de L(n,k,t), y en la mayor¨ªa de los casos se aproximan, dentro de un rango de posibles valores. Antes de este trabajo, el mejor l¨ªmite inferior conocido para L(56,6,2) era 23, lo que significa que hacen falta al menos 23 boletos para garantizar la obtenci¨®n de un premio. En 1998, John Bate y Gerritt Hendrik Johannes van Rees calcularon los valores exactos de L(n,6,2) para todos los n menores o iguales a 54 ¡ªpor cierto, este resultado dice exactamente cu¨¢ntos boletos necesitas comprar en la Loter¨ªa de Texas para garantizar una victoria, pero al parecer no tuvo eco en los medios¡ª.

Cushing y Stewart ampliaron las t¨¦cnicas utilizadas por Bate y Van Rees, calculando L(n,6,2) no solo para n = 56, sino para todos los n hasta 61. Para ello, en primer lugar, demostraron que existe un dise?o de loter¨ªa de tama?o 27, utilizando t¨¦cnicas de geometr¨ªa finita, una rama de la geometr¨ªa que trata con espacios que contienen un n¨²mero finito de puntos. Su construcci¨®n utiliza el llamado plano de Fano, un espacio formado por siete puntos y siete l¨ªneas ¨Ccada una, compuesta por tres puntos¨C, con las siguientes propiedades: cualquier par de puntos est¨¢n en una misma l¨ªnea, y cualquier par de l¨ªneas se intersecan exactamente en un punto. En concreto, combinan tres planos de Fano con otros dos planos finitos. Al asociar un par ¨²nico de n¨²meros con cada punto, cada l¨ªnea se etiqueta con un conjunto ¨²nico de seis n¨²meros, y las propiedades especiales de estos planos finitos garantizan que esta colecci¨®n de conjuntos constituye un dise?o de loter¨ªa de tama?o 27.

En segundo lugar, viene la parte dif¨ªcil: para mostrar que el tama?o de este dise?o es m¨ªnimo, demostraron que no existe un dise?o de loter¨ªa de tama?o 26 o menos. Para ello, Cushing y Stewart utilizaron un lenguaje de programaci¨®n llamado Prolog. Para escribir y ejecutar un programa en Prolog, se introduce una lista de reglas con las que trabajar y, despu¨¦s se hacen preguntas basadas en esas reglas. En principio, se podr¨ªa especificar la definici¨®n de un dise?o de loter¨ªa y preguntar si existe uno de tama?o 26. Sin embargo, con la velocidad de c¨®mputo actual, esto podr¨ªa llevar d¨¦cadas o incluso siglos. Utilizando una astuta combinaci¨®n de l¨ªmites superiores, l¨ªmites inferiores y t¨¦cnicas combinatorias variadas, Cushing y Stewart redujeron el espacio de b¨²squeda, guiando al motor de Prolog hacia una respuesta definitiva.

Por supuesto, las dos preguntas inmediatas son ¡°?se puede usar esto para ganar dinero jugando a la loter¨ªa?¡± y ¡°?se puede aplicar a El Gordo?¡±. La respuesta a ambas preguntas, desafortunadamente, es no. Jugar estos 27 boletos no ofrece una buena estrategia para ganar dinero jugando a la loter¨ªa brit¨¢nica. Hacerlo cuesta 54 libras, y el ¨²nico premio que garantiza ¨Cque alguno de tus n¨²meros coincida en dos cifras con el premiado¨C es solo un nuevo boleto seleccionado al azar en el pr¨®ximo sorteo, lo que no tiene pr¨¢cticamente ning¨²n valor. Cushing y Stewart comprobaron su propuesta y obtuvieron una p¨¦rdida total de las 54 libras, concluyendo que ¡°este desafortunado incidente sirve tanto como una verificaci¨®n de nuestro resultado como de que se debe esperar perder dinero al apostar¡±. Estas declaraciones rara vez llegan a los titulares.

Con respecto a la Loter¨ªa de Navidad espa?ola, la estructura del sorteo asegura que no puede funcionar ninguna estrategia de este tipo. A diferencia de la de Reino Unido y muchas otras, hay un sorteo aleatorio separado para cada n¨²mero premiado. No existe ninguna estrategia para ganar dinero en la Loter¨ªa de Navidad. Por lo tanto, concluyo recomendando que, si se juega, se haga de manera responsable.

Richard Mandel es investigador posdoctoral en el Max Planck Institute for Software Systems (Alemania)

Edici¨®n, traducci¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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