Dobble, el juego de mesa que esconde geometr¨ªas avanzadas

En los ¨²ltimos a?os, el Dobble ¡ªconocido tambi¨¦n como Spot It!¡ª se ha convertido en uno de los juegos de mesa m¨¢s populares entre ni?os y adultos. Se han vendido millones de copias en sus varias tem¨¢ticas ¡ªadem¨¢s de la tradicional, tiene versiones de Harry Potter, de Frozen o de Star Wars¡ª. Pese a su sencillez (gana b¨¢sicamente quien sea m¨¢s r¨¢pido) su dise?o est¨¢ basado en un ¨¢rea de las matem¨¢ticas conocida como geometr¨ªa proyectiva.

El Dobble cuenta con 55 cartas, cada una con ocho s¨ªmbolos diferentes, dispuestos de manera que, siempre, al coger dos naipes cualesquiera, tienen un ¨²nico s¨ªmbolo en com¨²n. Al comenzar la partida se reparte una carta a cada jugador y se coloca el resto en una pila, boca arriba. La primera persona que identifica el s¨ªmbolo que comparte su carta con la de la pila central, se la queda, mostr¨¢ndose una nueva carta en el centro. El proceso se repite hasta agotar los naipes, y gana quien m¨¢s haya acumulado. Pues bien, este sencillo pasatiempo se puede entender como una versi¨®n finita de la llamada geometr¨ªa proyectiva.

La geometr¨ªa proyectiva es una rama de las matem¨¢ticas que captura la idea de perspectiva, es decir, de c¨®mo percibimos los objetos desde nuestro punto de vista como observadores. Por ejemplo, aunque las dos v¨ªas del tren son paralelas ¡ªpermanecen siempre a la misma distancia la una de la otra¡ª, al situarse encima de ellas y mirar en la direcci¨®n en la que se alejan, se crea la sensaci¨®n de que se acercan hasta cruzarse en el horizonte.

En la geometr¨ªa proyectiva se formaliza esta idea y se establece, como propiedad fundamental del espacio, que cualquier par de rectas se cruza en un ¨²nico punto. Este punto estar¨¢ dentro del espacio, si las rectas se cortan en ¨¦l; o bien ser¨¢ un punto en el infinito, si son paralelas, como en el caso de las v¨ªas del tren. As¨ª, el plano proyectivo es una manera de ampliar el plano usual ¡ªtambi¨¦n llamado cartesiano¡ª, a?adiendo a cada recta un punto del infinito, en el que dicha l¨ªnea se corta con todas sus paralelas. La uni¨®n de todos los puntos del infinito forma, a su vez, una recta en el infinito ¡ªla l¨ªnea del horizonte, en la analog¨ªa de las v¨ªas del tren¡ª, que tambi¨¦n tiene asociado un punto extra en el infinito.

En su versi¨®n finita ¡ªla que aparece reflejada en el Dobble¡ª, estas geometr¨ªas cambian un poco. Las l¨ªneas, en vez de estar formadas por cantidad infinita de puntos, como se ense?a en la escuela, solo contienen un n¨²mero finito de ellos, como sucede en una pantalla de televisi¨®n, donde cualquier l¨ªnea ¡ªcualquier imagen, de hecho¡ª tiene un n¨²mero finito de p¨ªxeles. El Dobble se corresponde con una geometr¨ªa proyectiva finita concreta, en la que cada l¨ªnea tiene exactamente ocho puntos ¡ªsiete puntos en el espacio m¨¢s uno en el infinito¡ª. En el juego, los puntos son los s¨ªmbolos que aparecen en las cartas y, cada carta, es una recta. Como ocurre en el plano proyectivo, cada dos l¨ªneas tienen exactamente un punto en com¨²n, es decir, cada dos cartas tienen exactamente un s¨ªmbolo en com¨²n.

As¨ª, el plano proyectivo del Dobble se puede visualizar como un plano de 7 x 7 puntos al que se a?ade una recta en el infinito, con su punto extra. En total, este plano proyectivo tiene 7^2 + 7 + 1 = 57 puntos. Aplicando un teorema b¨¢sico de la geometr¨ªa proyectiva, se deduce que el n¨²mero de puntos tiene que ser igual al n¨²mero de rectas; por tanto, hay tambi¨¦n 57 rectas, o en nuestro caso, 57 cartas. Pero, ?el Dobble tiene 55! El motivo por el que sus dise?adores eligieron 55 naipes en vez de 57 permanece como un misterio. Si tienes curiosidad, y tambi¨¦n paciencia y tiempo, puedes tratar de descubrir cu¨¢les son las dos cartas que faltan.

Javier Aramayona es cient¨ªfico titular del Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT).

Stefano Francaviglia es catedr¨¢tico de la Universidad de Bolonia, Italia.

?gata Tim¨®n es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

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