?Feliz (1+2 +3+4+5+6+7+8+9)?!

Durante estas fechas, en las felicitaciones del a?o que comienza, entre buenos deseos, ¨¢rboles de Navidad, paisajes nevados y otros elementos de temporada, a veces, se cuelan propiedades matem¨¢ticas de la nueva cifra: si es primo o, en caso contrario, si se puede descomponer en sus factores de forma curiosa, si se puede expresar como una suma llamativa¡­ El a?o que comienza, 2025, admite una f¨®rmula de este tipo: es el cuadrado de los nueve primeros n¨²meros naturales. Es decir: 2025 = (1+2 +3+4+5+6+7+8+9)?.

Se trata de un n¨²mero poligonal: un n¨²mero natural que se puede representar gr¨¢ficamente como un pol¨ªgono regular (v¨¦ase la imagen de abajo). En el caso de los n¨²meros cuadrados, son el 1, el 4, el 9¡­ Este tipo de cifras, que se estudian desde la antig¨¹edad, tambi¨¦n pueden expresarse con f¨®rmulas. Por ejemplo, para cualquier n¨²mero natural n, la f¨®rmula del n-¨¦simo n¨²mero cuadrado es n?. Como 2025 = 45?, 2025 es el cuadrag¨¦simo quinto n¨²mero cuadrado.

La f¨®rmula para los n¨²meros triangulares tambi¨¦n es sencilla: el n-¨¦simo n¨²mero triangular se obtiene al sumar los n primeros n¨²meros naturales. Es decir, el primer n¨²mero triangular es el 1, el segundo el 3 (1+2), el tercero, el 5 (1+2+3) y as¨ª sucesivamente. El 45 es el noveno n¨²mero triangular. Por tanto, 2025 no es solo un n¨²mero cuadrado, sino que se trata del cuadrado del noveno n¨²mero triangular.

Adem¨¢s, como el cuadrado de la suma de los n primeros n¨²meros es igual a la suma de los cubos de los n primeros n¨²meros ¡ªotra curiosa relaci¨®n matem¨¢tica, muy f¨¢cil de demostrar¡ª, 2025 tambi¨¦n se puede escribir como 1?+2?+3?+4?+5?+6?+7?+8?+9?. Dejamos como pasatiempo vacacional a los lectores descubrir las propiedades num¨¦ricas de este a?o en el sistema musulm¨¢n (1446), del budista (2568), del chino (4722) o de otras culturas.

Manuel de Le¨®n es profesor de investigaci¨®n del Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT) y miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, F¨ªsicas y Naturales.

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n, traducci¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria.