Rect¨¢ngulos de Mondrian

Para empezar, una aclaraci¨®n/rectificaci¨®n: la semana pasada dije que ¡°en la secuencia 1, 11, 111, 1111, 11111¡­ no hay ning¨²n cuadrado perfecto¡±, y deber¨ªa haber a?adido, obviamente, ¡°salvo el caso trivial del 1, que es el cuadrado de s¨ª mismo¡±. Mis disculpas.

El problema de la p¨¢gina de c¨®mic dividida en vi?etas rectangulares sigue sin resolver del todo (aunque en los ¨²ltimos comentarios de la entrega anterior hay algunas aproximaciones interesantes), de modo que la cuesti¨®n sigue abierta y ampliable a cuadr¨ªculas de 4x4, 5x5¡­. Y en relaci¨®n con ello, Manuel Amor¨®s plante¨® un problema similar (que entronca con algunos del mismo tipo vistos anteriormente): ?De cu¨¢ntas maneras distintas puede recubrirse un tablero de ajedrez con fichas de domin¨®? Y, por otra parte, el problema de las vi?etas remite directamente al de los rect¨¢ngulos de Mondrian, como veremos a continuaci¨®n.

Tampoco la paradoja de la mosca y el manillar ha recibido una respuesta satisfactoria (ni no satisfactoria), as¨ª que plantear¨¦ la consabida metapregunta para nota: ?Qu¨¦ relaci¨®n tiene la paradoja de la mosca con las famosas paradojas de Zen¨®n sobre el movimiento? ?Es id¨¦ntica a la paradoja de la flecha?

Rompecabezas de Mondrian

Las conocidas composiciones geom¨¦tricas del pintor neerland¨¦s Piet Mondrian ¡ªuna simplificaci¨®n extrema de la abstracci¨®n pict¨®rica basada en figuras rectangulares y colores primarios¡ª han servido de inspiraci¨®n para diversos juegos y pasatiempos matem¨¢ticos. He aqu¨ª uno de los m¨¢s interesantes:

Dividimos una ret¨ªcula de nxn en rect¨¢ngulos que contengan un n¨²mero entero de celdillas y todos ellos diferentes: puede tener la misma superficie, pero no la misma forma (puede haber, por ejemplo, uno de 2x2 ¡ªhuelga decir que los cuadrados tambi¨¦n son rect¨¢ngulos¡ª y otro de 1x4, pero no uno de 1x4 y otro de 4x1). Llamamos ¡°puntuaci¨®n¡± de una de estas divisiones a la diferencia entre la superficie del mayor rect¨¢ngulo y la del menor, y buscamos la divisi¨®n de menor puntuaci¨®n.

Por ejemplo, en la figura adjunta vemos una ret¨ªcula de 4x4 dividida en un cuadrado de 3x3, un rect¨¢ngulo de 4x1 y un rect¨¢ngulo de 1x3; las superficies de las tres partes son, respectivamente, 9, 4 y 3 unidades cuadradas, por lo que la puntuaci¨®n de esta divisi¨®n es 9 ¨C 3 = 6. ?Se puede mejorar? S¨ª, se puede rebajar la puntuaci¨®n a 4 (?mediante qu¨¦ divisi¨®n?).

Obviamente, la situaci¨®n se complica a medida que aumenta el tama?o de la cuadr¨ªcula. Si, como hemos visto en semanas anteriores, no es f¨¢cil hallar el n¨²mero de diferentes divisiones en rect¨¢ngulos de una sencilla cuadr¨ªcula de 3x3, tampoco lo es resolver el problema de los rect¨¢ngulos de Mondrian para cuadr¨ªculas cada vez mayores. De hecho, no existe (que yo sepa) una f¨®rmula o un algoritmo que permita determinar la puntuaci¨®n m¨ªnima de una cuadr¨ªcula de nxn en funci¨®n de n.

Y precisamente la ausencia de tal algoritmo convierte los rect¨¢ngulos de Mondrian en un fascinante rompecabezas que puede proporcionarles a mis sagaces lectoras/es largas horas de solaz y/o desesperaci¨®n. De momento, os sugiero que busqu¨¦is las puntuaciones m¨ªnimas para las cuadr¨ªculas de 5x5, 6x6, 7x7 y 8x8.

A modo de pista y ejemplo, he aqu¨ª una divisi¨®n de la cuadr¨ªcula de 10x10 de puntuaci¨®n m¨ªnima, con dos rect¨¢ngulos de superficie m¨¢xima (5x4 y 10x2) y uno de superficie m¨ªnima (2x6), por lo que la puntuaci¨®n es 20 ¨C 12 = 8. ?Es ¨²nica esta divisi¨®n de puntuaci¨®n m¨ªnima?

Y en cuanto al cuadro de Mondrian que encabeza este art¨ªculo, ?podr¨ªamos encajarlo en una cuadr¨ªcula y considerarlo una de las divisiones que acabamos de ver? Y de no ser ello posible, ?c¨®mo habr¨ªa que modificarlo para que encajara? ?nimo, no todos los d¨ªas os brindan la posibilidad de enmendarle la plana a un gran pintor contempor¨¢neo.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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