El tamiz de Apolonio

Ve¨ªamos la semana pasada algunas de las propiedades del ¡°aburrido¡± n¨²mero 42, y hay m¨¢s. Como se?ala Salva Fuster: ¡°El n¨²mero 42 no es ¨²nicamente el segundo n¨²mero esf¨¦nico, sino que la suma de los divisores propios del primer n¨²mero esf¨¦nico (30) es precisamente 42. Tambi¨¦n es un n¨²mero oblongo, es decir, producto de dos naturales consecutivos (42 = 6 x 7)¡±.

Recordemos que los divisores propios de un n¨²mero son todos menos el propio n¨²mero, valga el juego de p...

Ve¨ªamos la semana pasada algunas de las propiedades del ¡°aburrido¡± n¨²mero 42, y hay m¨¢s. Como se?ala Salva Fuster: ¡°El n¨²mero 42 no es ¨²nicamente el segundo n¨²mero esf¨¦nico, sino que la suma de los divisores propios del primer n¨²mero esf¨¦nico (30) es precisamente 42. Tambi¨¦n es un n¨²mero oblongo, es decir, producto de dos naturales consecutivos (42 = 6 x 7)¡±.

Recordemos que los divisores propios de un n¨²mero son todos menos el propio n¨²mero, valga el juego de palabras; en el caso de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10 y 15. Pero no se acaban aqu¨ª las propiedades de este n¨²mero tan injustamente menospreciado:

42 es el sexto n¨²mero de Catalan (sin acento: era belga). Recordemos que los n¨²meros de Catalan, de los que ya nos hemos ocupado en alguna ocasi¨®n, representan, entre otras cosas, las distintas maneras de dividir un pol¨ªgono en tri¨¢ngulos mediante diagonales que no se corten o de insertar par¨¦ntesis en un producto de varios factores. Los diez primeros n¨²meros de Catalan son: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862 y 16796.

42 es la constante m¨¢gica de un cubo m¨¢gico de 3¡Á3¡Á3, que contiene en sus cub¨ªculos los n¨²meros del 1 al 27, de forma que la suma a lo largo de cualquier fila, columna o diagonal que pase por el centro es la misma, denominada constante m¨¢gica (?puedes demostrar que dicha constante m¨¢gica es 42?).

42 es la menor dimensi¨®n para la cual se ha demostrado que es correcta la ¡°conjetura de la salchicha¡±, que afirma que para cinco dimensiones o m¨¢s, el empaquetamiento de esferas cuya envolvente convexa tiene volumen m¨ªnimo, es siempre una disposici¨®n en hilera.

Del tamiz (de Apolonio) al tapiz (de Sierpinski)

Pero para hablar de la conjetura de la salchicha y otros interesantes aspectos del empaquetamiento de esferas, tema del que ya nos ocupamos, aunque muy por encima, el a?o pasado, conviene descender una dimensi¨®n y empezar hablando de empaquetamiento de c¨ªrculos. En este caso, la disposici¨®n en hilera (salchicha) no da lugar a la envolvente de superficie m¨ªnima, como es f¨¢cil ver en el caso de siete c¨ªrculos iguales, que, como demostr¨® Gauss, pueden empaquetarse de la forma m¨¢s densa posible con uno de ellos rodeado por los otros seis (?qu¨¦ ahorro de superficie envolvente supone la disposici¨®n hexagonal con respecto a la salchicha?).

Pero los c¨ªrculos empaquetados no tienen por qu¨¦ ser iguales, y ya en el siglo III a. C. el matem¨¢tico griego Apolonio de Perga hizo importantes contribuciones al estudio de los c¨ªrculos de distintos tama?os tangentes entre s¨ª.

Apolonio descubri¨® que, dadas tres circunferencias cualesquiera tangentes cada una a las otras dos, existen otras dos circunferencias tangentes a esas tres. Si repetimos el proceso con las nuevas ternas de circunferencia a las que da lugar la incorporaci¨®n de estas dos y repetimos el proceso indefinidamente, obtenemos un fractal denominado, en honor del ¡°gran ge¨®metra¡± (como fue conocido en su tiempo), el tamiz de Apolonio, que fue estudiado por Leibniz (por lo que se lo conoce tambi¨¦n como ¡°empaquetamiento de Leibniz¡±) y que es un claro precedente del tri¨¢ngulo y el tapiz de Sierpinski.

El tamiz de Apolonio se puede construir a partir de distintas ternas de generatrices. Si las tres circunferencias iniciales tienen el mismo radio, como en la figura, obtenemos el denominado?tamiz de Apolonio sim¨¦trico. Si una de las tres circunferencias generatrices tiene un radio infinito, es decir, es una recta tangente a dos circunferencias tangentes entre s¨ª, obtenemos una familia de c¨ªrculos de Ford. Pero ese es otro art¨ªculo.

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