La respuesta a la gran pregunta

Busc¨¢bamos la semana pasada una demostraci¨®n simple e intuitiva, apta para anaritmetos funcionales, de que el producto de dos n¨²meros negativos es un n¨²mero positivo (aquello de que menos por menos es m¨¢s). Y Juan Antonio Ad¨¢n sugiere una no muy ortodoxa, pero eficaz: ¡°Respecto al primer problema, c¨®mo explicar de forma sencilla que el producto de dos n¨²meros negativos es positivo, podr¨ªa ser as¨ª: si no tengo dos amigos a los que debo 15 euros, no tengo 30 euros menos¡±.

Una demostraci¨®n m¨¢s matem¨¢tica, sin dejar de ser asequible, podr¨ªa ser de este tipo:

-3 x 0 = -3 x (5 - 5) = -3 x [5 + (-5)] = (-3 x 5) + (-3 x -5) = -15 + (-3 x -5), de donde -3 x -5 = 15

Para colorear un mapa tipo globo terr¨¢queo, es decir, dibujado sobre una esfera, tambi¨¦n bastan cuatro colores, pues en este aspecto su superficie es topol¨®gicamente equivalente al plano. Es f¨¢cil de ver (es un decir) ¡°arrancando¡± mentalmente una cualquiera de las regiones de la superficie de la esfera y agrandando el agujero y estirando el mapa, como si fuera de goma, hasta colocarlo sobre un plano; de este modo, es como si la regi¨®n arrancada se hubiera vuelto infinita y envolviera a todas las dem¨¢s, con lo que hemos convertido el mapa esf¨¦rico en uno plano, por lo que bastar¨¢n cuatro colores para colorearlo.

Para colorear un mapa dibujado sobre la superficie de un toro hacen falta siete colores. La demostraci¨®n pasa por cortar el toro a lo largo de dos curvas cerradas para desplegarlo y convertirlo en un rect¨¢ngulo (dejo el resto de la demostraci¨®n a mis sagaces lectoras y lectores que aspiren a subir nota).

En cuanto al n¨²mero 17, el joven ¡ªjovenc¨ªsimo¡ª Gauss observ¨® que, adem¨¢s de ser primo, es una potencia de 2 m¨¢s 1: 17 = 2? + 1, y que estas dos propiedades implicaban que las 17 soluciones (en el dominio de los n¨²meros complejos) de la ecuaci¨®n x?? = 1 pod¨ªan hallarse mediante las operaciones algebraicas habituales: suma, resta, multiplicaci¨®n y divisi¨®n, junto con la formaci¨®n de ra¨ªces cuadradas. Y todas estas operaciones pueden realizarse geom¨¦tricamente usando regla y comp¨¢s, lo que implica que ha de haber una construcci¨®n con regla y comp¨¢s para el pol¨ªgono regular de 17 lados.

El ¡°aburrido¡± n¨²mero 42

En la novela de culto Gu¨ªa del autoestopista gal¨¢ctico, el n¨²mero 42 es: ¡°La respuesta a la gran pregunta sobre el sentido de la vida, el universo, y todo lo dem¨¢s¡±. Su autor, Douglas Adams, dijo que escogi¨® ese n¨²mero porque un sondeo r¨¢pido entre sus amigos revel¨® que era muy aburrido. Pero, ?es eso cierto?

Suponiendo que hubiera n¨²meros aburridos (e invito a mis sagaces lectoras y lectores a reflexionar sobre ello), desde luego el 42 no lo es. Veamos algunas de sus caracter¨ªsticas:

42 es el n¨²mero de particiones de 10 (modos de escribirlo como una suma de n¨²meros positivos enteros en su orden natural), como por ejemplo: 1 + 2 + 2 + 5, 1 + 3 + 6, 3 + 3 + 4¡­

42 es el segundo de los n¨²meros esf¨¦nicos (los que son producto de tres primos distintos), puesto que 42 = 2 ¡Á 3 ¡Á 7. Los diez primeros n¨²meros esf¨¦nicos son: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114 y 130.

42 es el tercero de los n¨²meros pentadecagonales, an¨¢logos a los n¨²meros triangulares, pero basados en un pol¨ªgono regular de 15 lados.

?Puedes hallar otras caracter¨ªsticas notables del ¡°aburrido¡± n¨²mero 42?

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