La alfombra de Sierpinski

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada por posibles expresiones curiosas del n¨²mero 2018. Pedro Jos¨¦ Pa¨²l se?ala que 2018 = 13² 43² (o sea que es el ¨¢rea de un cuadrado cuyo lado es la hipotenusa de un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo de catetos enteros). Y Gonzalo Mart¨ªn lo expresa elegantemente como suma de cuatro cuartas potencias casi consecutivas 2018 = 2⁴ 3⁴ 5⁴ 6⁴.

M¨¢s informaci¨®n

N¨²meros normales

Piensa un n¨²mero

El ap¨®stol de los n¨²meros

Una forma sencilla de construir un n¨²mero normal (dando por supuesto que es condici¨®n necesaria y suficiente que en su desarrollo aparezca cualquier n¨²mero natural) es encadenar ordenadamente todos los n¨²meros naturales como desarrollo decimal de dicho n¨²mero normal:

0,1234567891011121314151617¡­

Es el n¨²mero de Champernowne, similar en cierto sentido al de Copeland-Erd?s, que tambi¨¦n es normal (aunque no es f¨¢cil demostrarlo):

0,235711131719232931374143¡­

Una pregunta sencilla para catec¨²menos: ?cu¨¢l es el criterio de construcci¨®n de este n¨²mero?

Parad¨®jicamente, aunque hay muchos m¨¢s n¨²meros normales que anormales, es mucho m¨¢s f¨¢cil construir estos ¨²ltimos. Por ejemplo, si en la construcci¨®n de Champernowne, en vez de encadenar todos los n¨²meros naturales, encadenamos solo los pares o los impares, obtenemos dos anormales evidentes:

0,13579111315171921232527¡­

0,246810121416182022242628¡­

Nadie ha contestado la pregunta final de la semana pasada (tal vez por su ¨ªndole festiva): ?se te ocurre alg¨²n argumento extramatem¨¢tico e inmediato a favor de la existencia de n¨²meros anormales? Muy sencillo: si todos los irracionales fueran normales, el adjetivo ser¨ªa superfluo.

La alfombra m¨¢gica

Los n¨²meros de Champernowne y de Copeland-Erd?s son, efectivamente, normales; pero la demostraci¨®n rigurosa (sin partir del supuesto de que la condici¨®n necesaria antes mencionada es tambi¨¦n suficiente) es complicada y requiere un cierto nivel matem¨¢tico. El primero en determinar un n¨²mero normal y demostrar que lo era fue Waclaw Sierpinski, en 1917.

Adem¨¢s de sus aportaciones a la teor¨ªa de n¨²meros y a la teor¨ªa de conjuntos, el prol¨ªfico matem¨¢tico polaco estudi¨® los fractales, y es conocido sobre todo por varios objetos que llevan su nombre, como la alfombra de Sierpinski.

Para construir una alfombra de Sierpinski, dividimos un cuadrado en 9 cuadrados iguales y eliminamos el del centro; luego hacemos lo mismo con cada uno de los 8 cuadrados restantes, y as¨ª sucesiva e indefinidamente. El dise?o obtenido recuerda al de algunas alfombras orientales, y de ah¨ª el nombre de este fascinante objeto fractal.

En cada paso de la construcci¨®n de esta ¡°alfombra m¨¢gica¡± eliminamos una parte de la superficie del cuadrado. ?Cu¨¢l es la secuencia num¨¦rica que expresa esta reducci¨®n progresiva, y qu¨¦ podemos decir de ella? Y tras una pregunta sencilla, otra para nota: ?es la alfombra de Sierpinski un objeto bidimensional?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.