El ascensor de Gamow

En alguno de sus maravillosos libros de matem¨¢tica recreativa, comenta Martin Gardner que, as¨ª como los trenes, aviones, barcos, autom¨®viles y otros medios de transporte aparecen en numerosos problemas, se dir¨ªa que los ascensores han sido olvidados por los amantes de los acertijos l¨®gicos. No parece ser el caso de mis sagaces lectores, que siguen d¨¢ndole vueltas a un problema planteado, hace varias semanas, en la entrega Ascensores problem¨¢ticos. El problema en cuesti¨®n es el siguiente, y adem¨¢s de hallar el menor n¨²mero de ascensores, la situaci¨®n se presta a plantear otras interesantes cuestiones (ver comentarios de la semana pasada):

En un edificio de diez plantas (incluida la planta baja) hay varios ascensores, cada uno de los cuales se detiene en la planta baja, en la ¨²ltima y en cuatro plantas intermedias. ?Cu¨¢l es el menor n¨²mero de ascensores que permiten ir directamente desde cualquier planta a cualquier otra, sin necesidad de cambiar de ascensor?

La paradoja del ascensor

Tampoco a George Gamow, padre de la teor¨ªa del Big Bang, le resultaban indiferentes los modestos ascensores, pues en su libro Puzzles-Math, escrito en colaboraci¨®n con su colega Marvin Stern y publicado en 1958, plantea una ¡°paradoja del ascensor¡± basada en sus propias observaciones.

Gamow y Stern trabajaban en un mismo edificio de siete plantas, Gamow en la segunda y Stern en la sexta, y se visitaban mutuamente con bastante frecuencia. Gamow observ¨® que, cuando iba a ver a Stern, cinco de cada seis veces el primer ascensor que se deten¨ªa en su planta iba bajando. Y cuando era Stern el que iba a ver a Gamow, cinco de cada seis veces el primer ascensor que se deten¨ªa en su planta iba subiendo.

En el caso de un solo ascensor, la cosa no tiene ning¨²n misterio: Gamow ten¨ªa cinco plantas por encima y una por debajo, por lo que la probabilidad de que el ascensor llegara de una planta superior era 5/6. Y viceversa: Stern ten¨ªa una planta por encima y cinco por debajo, por lo que la probabilidad de que el ascensor le llegara desde una planta inferior era 5/6. Pero ?qu¨¦ pasa si hay m¨¢s ascensores? ?Y si el n¨²mero de ascensores (pensemos en el hotel de Hilbert) tiende a infinito? Paradoja al acecho¡­

El ascensor como s¨ªmil inform¨¢tico

En el tercer volumen de The Art of Computer Programming, el matem¨¢tico estadounidense Donald E. Knuth (que tambi¨¦n analiz¨® la paradoja de Gamow) utiliza un ascensor como modelo de clasificaci¨®n por ordenador y plantea problemas de optimizaci¨®n como el siguiente:

En un edificio de cinco plantas con un ¨²nico ascensor con capacidad para dos personas, hay tres personas en cada planta, y todas menos una desean ir a otra planta. El ascensor parte de la planta baja (la 1) y va cargando y descargando personas hasta que todas est¨¢n donde quer¨ªan estar, y entonces vuelve a la planta baja. Tomando como unidad la distancia entre dos plantas contiguas, se trata de buscar el recorrido m¨ªnimo que permite llevar a cada persona a su destino (lo que equivale a minimizar la distancia recorrida, o el tiempo empleado si la velocidad del ascensor es constante). En el siguiente esquema se indica a qu¨¦ planta desea ir cada una de las tres personas de cada planta (menos una de la planta 2 que no quiere cambiar):

5: 1-2-3

4: 1-3-5

3: 4-5-5

2: 1-2-4

1: 2-3-4

El ascensor bala

Y ahora, para romper la mon¨®tona verticalidad de los ascensores, un poco de pensamiento lateral:

En un futurista rascacielos de 200 pisos hay un ascensor que va directamente de la planta baja al ¨¢tico, y su velocidad aumenta en 10 metros por segundo cada segundo hasta alcanzar un m¨¢ximo a partir del cual, obviamente, decelera hasta detenerse arriba del todo. Un visitante que llega al rascacielos le pregunta a otro:

-?A qu¨¦ velocidad m¨¢xima ir¨¢ el ascensor, al pasar por el piso 100?

-No creo que vaya a la m¨¢xima velocidad al pasar por ese piso -contesta el otro.

?Es razonable la respuesta?

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