De urnas y pretendientes

Sobre el problema de las baldosas cuadradas, planteado la semana pasada, dice Benedicto Torres:

Si para los siguientes valores de N y B la superficie S es:

N = 8, B = 0 => S = 3 N = 9, B = 0 => S = 3¡ä5 N = 10, B = 0 => S = 4

N = 8, B = 1 => S = 4 N = 9, B = 1 => S = 4¡ä5 N = 10, B = 1 => S = 5

Se infiere: S = (N-2)*1/2 + B

Considerando las superficies:

M¨ªnima con N = 3 y B = 0 => S = (3-2)*1/2 + 0 = 1/2 M¨¢xima con N = 26 y B = 28 => S = (26-2)*1/2 + 28 = 40

A lo que Francisco Montesinos contesta (solo para matem¨¢ticos):

Una forma divertida de llegar a la misma funci¨®n consiste en empezar por ensayar una lineal en N y en B del tipo F(N, B) = aN + bB + c. Entonces, cogiendo los ejemplos m¨¢s sencillos se observa que F(N + 1,B) ¨C F(N, B) = 1/2. Pero esto no es sino la derivada parcial (quiz¨¢s ser¨ªa m¨¢s apropiado llamarla seudoderivada) de F respecto a N, cuyo valor es a, por lo que a = 1/2. De la misma forma se llega a que la derivada parcial de F respecto a B : F(N, B+1) ¨C F(N, B) debe ser 1, por lo que b = 1. Por ¨²ltimo, aplicando la f¨®rmula p.e. al caso (N, B) = (4, 0) se obtiene c = -1. Sorprende que una funci¨®n lineal resuelva la cuesti¨®n, aunque bien pensado hay motivos para que as¨ª sea.

Y en relaci¨®n con el problema del simbionte, Bretos Burs¨® propone esta serie de cuatro (o estos cuatro de series):

1) En cada paso sacamos al azar una bola de una urna, y terminamos si no es blanca. Al principio hay 1 bola verde y 1 bola blanca. Cada vez que sale blanca, la devolvemos a la urna junto con 1 bola roja y vamos al paso siguiente. ?Cu¨¢l es la probabilidad de terminar sacando la bola verde?

2) ?dem si al principio hay 1 bola verde y 1 bola blanca, y en caso de salir blanca a?adimos 1 bola roja y 1 bola blanca.

3) ?dem si al principio hay 2 bolas rojas y 1 bola blanca, y en caso de salir blanca a?adimos 1 bola verde y 1 bola blanca.

4) ?dem si al principio hay 1 bola verde y 3 bolas blancas, y en caso de salir blanca a?adimos 2 bolas rojas y 2 bolas blancas.

Tal vez los lectores m¨¢s asiduos recuerden un art¨ªculo de hace un par de a?os dedicado a la urna de P¨®lya (denominada as¨ª en honor del matem¨¢tico h¨²ngaro George P¨®lya), de la que los cuatro problemas anteriores son variantes. Y aprovecho para repetir un par de cuestiones que entonces quedaron sin respuesta: ?Tiene algo que ver con la urna de P¨®lya el hecho de que los ricos sean cada vez m¨¢s ricos? ?Y la elecci¨®n de una mujer que duda entre dos pretendientes (una situaci¨®n t¨ªpica de las novelas rosa)?

Las urnas de Porcia

Y hablando de urnas y pretendientes, casualmente (o tal vez no), una notable similgraf¨ªa nos lleva de la urna de P¨®lya a las de Porcia, que en el fascinante libro de Raymond Smullyan ?C¨®mo se llama este libro? dan lugar a una interesante serie de acertijos l¨®gicos. Como este:

Porcia, la protagonista de El mercader de Venecia, tiene tres urnas, una de oro, otra de plata y otra de plomo, y dentro de una de ellas est¨¢ su retrato. Y el pretendiente de turno, para obtener su mano, tiene que deducir en qu¨¦ urna est¨¢ el retrato de Porcia a partir de la siguiente informaci¨®n:

En la urna de oro hay un letrero que dice: ¡°El retrato no est¨¢ en la urna de plata¡±.

En la urna de plata hay un letrero que dice: ¡°El retrato no est¨¢ en esta urna¡±.

En la urna de plomo hay un letrero que dice: ¡°El retrato est¨¢ en esta urna¡±.

Sabiendo que por lo menos una de las tres afirmaciones es verdadera y que por lo menos una es falsa, ?en qu¨¦ urna est¨¢ el retrato?