D¨ªa pi: el n¨²mero que fascina a los matem¨¢ticos

Que la raz¨®n entre la longitud de cualquier circunferencia y su di¨¢metro sea una constante universal, a la que los griegos llamaron Pi, fue un gran descubrimiento de la antig¨¹edad. Sobre pi poseemos una extensa gama de conocimientos: su desarrollo decimal comienza con 3,14159¡­ (con la ayuda de las modernos supercomputadores conocemos hoy cientos de miles de millones de sus cifras decimales); es un n¨²mero irracional, es decir, no es igual al cociente de dos enteros; no es tampoco ra¨ªz de ning¨²n polinomio cuyos coeficientes sean enteros, y eso implica que el c¨ªrculo no puede ser cuadrado con regla y comp¨¢s.

No obstante, pi reserva todav¨ªa muchos misterios a los matem¨¢ticos del siglo XXI, y su historia est¨¢? plagada de an¨¦cdotas jugosas y relaciones interesantes. Una de mis favoritas es la siguiente: si sumamos los rec¨ªprocos de todos los n¨²meros enteros elevados al cuadrado, se obtiene pi al cuadrado dividido por 6 (el rec¨ªproco de un entero n es la fracci¨®n 1/n). No deja de sorprenderme que la raz¨®n entre la circunferencia y su di¨¢metro aparezca en una suma en la que est¨¢n los rec¨ªprocos de los cuadrados de todos los n¨²meros.

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Me confieso afortunado por haber logrado una nueva manera de calcular el valor de esa suma, que puede entender un estudiante avanzado de secundaria, y que ilustra claramente como, para demostrar una verdad sobre algo tan discreto como son los enteros, resulta conveniente echar mano de utensilios ¡°continuos¡± del c¨¢lculo diferencial. No obstante, el primero en saber su valor fue el gran Leonhard Euler, hacia 1734. Euler defini¨® para cada n¨²mero entero n la funci¨®n z(n) como la suma de los rec¨ªprocos de las n-¨¦simas potencias de enteros. Obtuvo una f¨®rmula general que involucra al n¨²mero Pi cuando la potencia es un n¨²mero par, pero el caso de exponente impar es todav¨ªa terra incognita. En el a?o 1978 el matem¨¢tico franc¨¦s Roger Apery demostr¨® que la suma de los rec¨ªprocos de los cubos de los n¨²meros enteros es un n¨²mero irracional, pero su ingeniosa demostraci¨®n no sirve para otros impares.

Euler ya se dio cuenta de la importancia de la funci¨®n z(n) en la teor¨ªa de los n¨²meros primos, pero fue el matem¨¢tico alem¨¢n Bernard Riemann qui¨¦n desvel¨® las consecuencias que las propiedades de la funci¨®n z(s), con s no necesariamente entero, tienen para conocer la distribuci¨®n de los n¨²meros primos en la sucesi¨®n de los enteros. As¨ª se logr¨® demostrar el llamado ¡°Teorema de los N¨²meros Primos¡±, que dice que la densidad de primos en torno a un n¨²mero n es proporcional a 1/(n¨²mero de cifras de n). Una de las predicciones importantes que hizo Riemann sobre su funci¨®n, la llamada ¡°Hip¨®tesis de Riemann¡±, se ha resistido hasta ahora a los matem¨¢ticos y forma parte de esa colecci¨®n de ¡°Problemas del Milenio¡± que tienen asignada una recompensa de un mill¨®n de d¨®lares.

Si elegimos al azar dos n¨²meros enteros, entonces la probabilidad de que sean primos entre s¨ª es igual a 6 dividido por el cuadrado de Pi

Otra expresi¨®n intrigante en la que aparece pi es de naturaleza aleatoria. Si elegimos al azar dos n¨²meros enteros, entonces la probabilidad de que sean primos entre s¨ª (es decir, que no tengan divisores comunes) es igual a 6 dividido por el cuadrado de pi (0,611¡­) Para calcular esa proporci¨®n Euler utiliz¨® la funci¨®n ¦Õ(n), que ahora llamamos de Euler en su honor, y que asigna a cada entero n el n¨²mero de enteros menores que ¨¦l que son primos con ¨¦l. Euler obtuvo una expresi¨®n para los promedios de esa funci¨®n, que nos da la probabilidad buscada y en la que de forma expl¨ªcita aparece el n¨²mero pi a trav¨¦s, precisamente, de la suma de los rec¨ªprocos de los cuadrados de los n¨²meros enteros.

La funci¨®n de Euler es tambi¨¦n importante por muchas otras razones: est¨¢ presente en numerosas f¨®rmulas de la teor¨ªa de n¨²meros y en otros contextos de la ciencia, tales como son el cifrado de mensajes y la seguridad de nuestras comunicaciones por Internet. Seguir su pista, y tambi¨¦n la de pi, a trav¨¦s de los trabajos de Alan Turing y otros l¨®gico-matem¨¢ticos, nos llevar¨ªa a la moderna teor¨ªa de la computaci¨®n, que tanto ha cambiado nuestro mundo.

Pero cuanto m¨¢s aprendemos sobre pi, m¨¢s misterios surgen. Por ejemplo, ignoramos si se trata de un n¨²mero normal, es decir, si en su desarrollo decimal en cualquier base se encuentran todas las sucesiones finitas de d¨ªgitos con la frecuencia que les corresponda por su tama?o. Tampoco sabemos si al sumar, o al multiplicar, Pi con el n¨²mero e=2.718¡­ (tan importante como pi y cuya irracionalidad fue demostrada por Euler) el resultado es racional o irracional.

Antonio C¨®rdoba es Catedr¨¢tico de An¨¢lisis de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.