Un guisante del tama?o del Sol

El parpadeo infinito de la l¨¢mpara de Thompson, de la que habl¨¢bamos la semana pasada, remite a las paradojas cl¨¢sicas sobre el movimiento, como la de Aquiles y la tortuga; pero con una diferencia importante: en el mundo real, Aquiles alcanza a la tortuga, mientras que el estado final de la l¨¢mpara de Thompson es indecidible, puesto que el experimento es materialmente irrealizable (o tan siquiera concebible en el marco de la f¨ªsica real, puesto que no tiene sentido hablar de lapsos de tiempo infinitesimales).

M¨¢s informaci¨®n

El Tangram, Bolyai-Gerwien y la cuadratura del c¨ªrculo

Un lector, Carlos Gaceo, ha se?alado oportunamente que se echa de menos, entre tantas paradojas relacionadas con el infinito, el teorema de Banach-Tarsky, que demuestra que podemos trocear una esfera maciza y reagrupar sus fragmentos para formar dos esferas macizas iguales a la original. Una formulaci¨®n m¨¢s radical del teorema dice que dados dos objetos s¨®lidos cualesquiera, uno puede ser obtenido por reagrupaci¨®n de fragmentos del otro; lo que equivale a decir que a partir de una esfera del tama?o de un guisante podr¨ªamos obtener otra del tama?o del Sol. Este resultado totalmente contrario a la intuici¨®n (y al igual que la l¨¢mpara de Thompson irrealizable en el mundo f¨ªsico) tiene que ver con el denominado axioma de elecci¨®n, que afirma que dada una serie de conjuntos no vac¨ªos, podemos formar otro conjunto que contenga un elemento de cada uno de ellos. La formaci¨®n de dicho nuevo conjunto es trivial si partimos de un n¨²mero finito de conjuntos (pues se trata simplemente de coger un elemento cualquiera de cada uno); pero, seg¨²n demostr¨® Ernst Zermelo en 1904, para un n¨²mero infinito de conjuntos puede no ser as¨ª, y se hace necesaria la formulaci¨®n de un axioma ad hoc. La cuesti¨®n es demasiado compleja para desarrollarla aqu¨ª, pero no quer¨ªa dejar de mencionarla por su relaci¨®n con lo visto en art¨ªculos anteriores; quienes deseen profundizar en el tema y aportar sus comentarios, ser¨¢n bien recibidos.

No todas las particiones y reagrupaciones son tan complejas e inquietantes como la plantada por el teorema de Branach-Tarski. En el extremo opuesto tenemos, como m¨¢xima simplificaci¨®n del tangram tradicional, la elegante versi¨®n propuesta por el matem¨¢tico alem¨¢n G. Br¨¹gner en 1984, que consiste en dividir un rect¨¢ngulo en tres tri¨¢ngulos rect¨¢ngulos tal como se indica en la figura. Si la relaci¨®n entre los lados del rect¨¢ngulo es la adecuada, podemos formar, reagrupando los tres tri¨¢ngulos de distintas maneras, hasta 16 figuras poligonales convexas. ?Cu¨¢l ha de ser dicha relaci¨®n tangram¨¢tica?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.