Un guisante del tama?o del Sol
El teorema de Banach-Tarski demuestra que podemos trocear una esfera y reagrupar sus fragmentos para obtener dos esferas iguales a la original
El parpadeo infinito de la l¨¢mpara de Thompson, de la que habl¨¢bamos la semana pasada, remite a las paradojas cl¨¢sicas sobre el movimiento, como la de Aquiles y la tortuga; pero con una diferencia importante: en el mundo real, Aquiles alcanza a la tortuga, mientras que el estado final de la l¨¢mpara de Thompson es indecidible, puesto que el experimento es materialmente irrealizable (o tan siquiera concebible en el marco de la f¨ªsica real, puesto que no tiene sentido hablar de lapsos de tiempo infinitesimales).
Un lector, Carlos Gaceo, ha se?alado oportunamente que se echa de menos, entre tantas paradojas relacionadas con el infinito, el teorema de Banach-Tarsky, que demuestra que podemos trocear una esfera maciza y reagrupar sus fragmentos para formar dos esferas macizas iguales a la original. Una formulaci¨®n m¨¢s radical del teorema dice que dados dos objetos s¨®lidos cualesquiera, uno puede ser obtenido por reagrupaci¨®n de fragmentos del otro; lo que equivale a decir que a partir de una esfera del tama?o de un guisante podr¨ªamos obtener otra del tama?o del Sol. Este resultado totalmente contrario a la intuici¨®n (y al igual que la l¨¢mpara de Thompson irrealizable en el mundo f¨ªsico) tiene que ver con el denominado axioma de elecci¨®n, que afirma que dada una serie de conjuntos no vac¨ªos, podemos formar otro conjunto que contenga un elemento de cada uno de ellos. La formaci¨®n de dicho nuevo conjunto es trivial si partimos de un n¨²mero finito de conjuntos (pues se trata simplemente de coger un elemento cualquiera de cada uno); pero, seg¨²n demostr¨® Ernst Zermelo en 1904, para un n¨²mero infinito de conjuntos puede no ser as¨ª, y se hace necesaria la formulaci¨®n de un axioma ad hoc. La cuesti¨®n es demasiado compleja para desarrollarla aqu¨ª, pero no quer¨ªa dejar de mencionarla por su relaci¨®n con lo visto en art¨ªculos anteriores; quienes deseen profundizar en el tema y aportar sus comentarios, ser¨¢n bien recibidos.
No todas las particiones y reagrupaciones son tan complejas e inquietantes como la plantada por el teorema de Branach-Tarski. En el extremo opuesto tenemos, como m¨¢xima simplificaci¨®n del tangram tradicional, la elegante versi¨®n propuesta por el matem¨¢tico alem¨¢n G. Br¨¹gner en 1984, que consiste en dividir un rect¨¢ngulo en tres tri¨¢ngulos rect¨¢ngulos tal como se indica en la figura. Si la relaci¨®n entre los lados del rect¨¢ngulo es la adecuada, podemos formar, reagrupando los tres tri¨¢ngulos de distintas maneras, hasta 16 figuras poligonales convexas. ?Cu¨¢l ha de ser dicha relaci¨®n tangram¨¢tica?
Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.
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