Equipos imprevistos
?Qu¨¦ ocurre si, en una liga de f¨²tbol, se incorporan equipos que no estuviesen previstos?
En un domin¨® que solo contiene los n¨²meros del 0 al 3 hay diez fichas: 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 1-1, 1-2, 1-3, 2-2, 2-3 y 3-3, y tiene la particularidad de que no podemos formar una cadena continua con todas ellas: siempre sobrar¨¢ al menos una. Ve¨ªamos la semana pasada que la combinatoria del domin¨® convencional de 28 fichas se puede representar mediante un hept¨¢gono con todas sus diagonales, en el que cada v¨¦rtice representa una ficha doble y cada lado y diagonal la ficha mixta con los n¨²meros de los v¨¦rtices que une. Pues bien, el grafo correspondiente al domin¨® de cuatro n¨²meros es un cuadrado con sus dos diagonales; en cada v¨¦rtice confluyen tres segmentos (dos lados y una diagonal), un n¨²mero impar, por lo que no podemos dibujar la figura de un solo trazo, lo que equivale a decir que no podemos formar una cadena continua con todas las fichas.
En el domin¨® ¡°doble doce¡± hay 91 fichas: cada uno de los trece n¨²meros (del 0 al 12) se combina con cada uno de los dem¨¢s, lo que da lugar a 13x12/2 = 78 fichas mixtas, a las que hay que sumar las 13 dobles. El domin¨® ¡°doble doce¡±, tambi¨¦n conocido como ¡°tren mexicano¡±, es pr¨¢cticamente desconocido en Europa, pero bastante popular en Estados Unidos y otros pa¨ªses americanos, donde se suele jugar con dinero (a tantos centavos el punto). Por cierto, ?se puede formar una cadena continua con sus 91 fichas?
Relaciones diplom¨¢ticas y deportivas
Siguiendo con la combinatoria con condiciones, nuestro ¡°usuario destacado¡± Francisco Montesinos (ver comentarios de la semana pasada, donde sigue el debate sobre las cadenas de fichas) propone el siguiente problema:
Dos pa¨ªses mantienen relaciones diplom¨¢ticas si cada uno de ellos tiene embajada en el otro. En un grupo de 20 pa¨ªses se vio que al menos dos de cada tres no hab¨ªan establecido relaciones diplom¨¢ticas. ?Puede haber en estos 20 pa¨ªses 200 embajadas o m¨¢s correspondientes a pa¨ªses del mismo grupo?
Y otro en la misma l¨ªnea (algo m¨¢s sencillo, para no recalentar excesivamente las cabezas en estos t¨®rridos d¨ªas estivales):
En una liga de f¨²tbol, cada equipo ha de jugar dos veces (partido de ida y partido de vuelta) con cada uno de los dem¨¢s. Una vez establecido el calendario de partidos, se suman a la liga algunos equipos que no estaban previstos, lo que obliga a planificar 34 partidos m¨¢s. ?Cu¨¢ntos equipos participan en la liga?
Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.
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