La perfecci¨®n hecha n¨²mero

Aunque los n¨²meros naturales son una ¡°peque?a¡± parte de la gran cantidad de n¨²meros que conocemos, entre ellos se esconden grandes curiosidades y muchos enigmas que contin¨²an, a d¨ªa de hoy, sin respuesta.

Tenemos n¨²meros naturales primos y compuestos, n¨²meros peque?os y n¨²meros realmente grandes,?n¨²meros que ¡°se tragan¡± a otros n¨²meros, n¨²meros capic¨²as y n¨²meros que todav¨ªa se niegan a convertirse en ello¡­ Pero entre todos los n¨²meros naturales hay un tipo de n¨²meros que, por sus caracter¨ªsticas, reciben el nombre de perfectos. De ellos vamos a hablar hoy.

Pero antes vamos a hacer unos c¨¢lculos, que para eso estamos en un blog de matem¨¢ticas. Tomemos, por ejemplo, el n¨²mero 15 y calculemos todos sus divisores (n¨²meros naturales que cumplen que la divisi¨®n de 15 entre esos n¨²meros es exacta). Son, como todos sabr¨¦is, los siguientes: 1, 3, 5 y 15. Excluyamos al propio 15 y sumemos los dem¨¢s:

1 + 3 + 5 = 9

El resultado de la suma nos da 9. Tomemos ahora el n¨²mero 28 y calculemos sus divisores. Son: 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Excluimos, como antes, al propio 28 y sumamos el resto de divisores:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

??La suma da como resultado el propio n¨²mero 28!! Bien, ya estamos preparados para conocer a estos n¨²meros:

Un n¨²mero perfecto es un n¨²mero natural que cumple que es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio n¨²mero).

Por tanto, el 15 no es un n¨²mero perfecto, pero el 28 s¨ª lo es.

?Por qu¨¦ el apelativo de ¡°perfectos¡±? Pues parece ser que se llaman as¨ª por cuestiones m¨¢s bien m¨ªsticas: Dios cre¨® el universo en 6 d¨ªas, y el 6 es un n¨²mero perfecto; la Luna tarda 28 d¨ªas en dar una vuelta a la Tierra porque el 28 es perfecto¡­

El m¨¢s peque?o de los n¨²meros perfectos es el que acabamos de citar, el 6:

El siguiente es el 28, y a ellos le siguen el 496 y el 8128. Aqu¨ª ten¨¦is los ocho primeros n¨²meros perfectos conocidos:

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128

Os dejo a vosotros como ejercicio comprobar que son n¨²meros perfectos el 496 y los otros cinco mayores que ¨¦l (si ten¨¦is mucho tiempo libre).

El estudio de estos n¨²meros perfectos est¨¢ ligado al estudio de los mismos n¨²meros naturales, por lo que se podr¨ªa decir que han estado en la mente de los matem¨¢ticos desde que el hombre se interes¨® por el estudio m¨¢s profundo de los n¨²meros y sus propiedades. Pero, seg¨²n sabemos, fue Euclides quien mostr¨® por primera vez estudios y resultados con inter¨¦s acerca de estos curiosos n¨²meros.

Y es el propio Euclides el que demuestra un interesante resultado sobre n¨²meros perfectos. Ah¨ª va:

Si para alg¨²n n¨²mero natural k > 0 se cumple que 2^k ¨C 1 es primo, entonces el n¨²mero 2^{k ¨C 1} ¡¤ (2^k ¨C 1) es un n¨²mero perfecto.

Por ejemplo, para k = 2 tenemos que 2² ¨C 1 = 3 es primo. Entonces, el n¨²mero que resulta de la operaci¨®n 2^{2 ¨C 1} ¡¤ (2² ¨C 1) = 2 ¡¤ 3 = 6 es, como ya hemos visto, perfecto. Y para k = 3 tenemos que 2³ ¨C 1 = 7 es primo, obteniendo as¨ª el n¨²mero 2^{3 ¨C 1} ¡¤ (2³ ¨C 1) = 4 ¡¤ 7=28, que ya hemos visto que tambi¨¦n es un n¨²mero perfecto. El resto de n¨²meros perfectos de la lista de los ocho primeros que aparecen unos p¨¢rrafos m¨¢s arriba se obtiene con k = 5, 7, 13, 17, 19 y 31.

Por cierto, ?a alguien le suenan los n¨²meros de la forma 2^k ¨C 1? Seguro que s¨ª: son los llamados n¨²meros de Mersenne, de los cuales ya hablamos en este art¨ªculo. Estos n¨²meros s¨®lo pueden ser primos si el propio k es primo, aunque hay muchos valores primos de k para los que el n¨²mero de Mersenne asociado no es primo. El m¨¢s peque?o de ellos es el que se obtiene para k = 11:

2¹¹ ¨C 1 = 2047 = 23 ¡¤ 89

Por tanto, podemos decir que cada primo de Mersenne genera un n¨²mero perfecto. Como, a d¨ªa de hoy, se conocen 49 primos de Mersenne, tenemos una lista de 49 n¨²meros perfectos generados por ellos.

Como dato, es interesante comentar que el rec¨ªproco de ese teorema:

Si un n¨²mero perfecto es par, entonces tiene la estructura anterior (es decir, proviene de un primo de Mersenne)

tambi¨¦n es cierto, y fue demostrado por Leonhard Euler.

Ahora, en principio nada obliga a que todos los n¨²meros perfectos que existan sean obligatoriamente generados por un primo de Mersenne mediante la expresi¨®n descrita antes, podr¨ªa haber n¨²meros perfectos que no tuvieran esa estructura. Pero, ?sab¨¦is cu¨¢ntos n¨²meros perfectos conocemos actualmente? Pues s¨ª, hab¨¦is acertado: exactamente 49, los 49 que salen de los 49 primos de Mersenne conocidos. Esto significa que no conocemos ning¨²n n¨²mero perfecto que no cumpla esa estructura.

?Cu¨¢ntos n¨²meros perfectos existen? Pues no lo sabemos, de hecho ni siquiera sabemos si hay infinitos n¨²meros perfectos o si, por el contrario, hay una cantidad finita de ellos. Por otra parte, todos los conocidos son pares. ?Ser¨¢n pares todos los n¨²meros perfectos? Pues tampoco lo sabemos, no se conoce ning¨²n n¨²mero perfecto impar ni se sabe si existen o no. Preguntas interesantes que, ya bien adentrados en el siglo XXI, contin¨²an sin respuesta. Para que ve¨¢is que algo tan sencillo como este peque?o divertimento con n¨²meros naturales puede generar enigmas extremadamente complicados de desentra?ar.

Y, para finalizar, volvamos al tema de los divisores. Tomemos el n¨²mero 220 y calculemos sus divisores. Son los siguientes: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220. Excluimos el 220 y sumamos los dem¨¢s:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

La suma no nos da 220, por lo que este n¨²mero no es un n¨²mero perfecto. Hagamos ahora lo mismo con el resultado obtenido, el 284. Sus divisores son los siguientes: 1, 2, 4, 71, 142 y 284. Sumamos todos excepto el 284 y obtenemos lo siguiente:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

??El n¨²mero con el que comenzamos!! Estas parejas de n¨²meros que cumplen que los divisores propios de uno de ellos suman el otro n¨²mero se llaman n¨²meros amigos. Se conocen muchas parejas de n¨²meros amigos, algunas de ellas con n¨²meros bastante grandes, y tambi¨¦n han sido muchos los matem¨¢ticos que les han dedicado tiempo de estudio a lo largo de la historia. Son otro tipo de n¨²meros bastante interesante sobre el que hablar e indagar, pero dejar¨¦ que se¨¢is vosotros quienes, si est¨¢is interesados, busqu¨¦is informaci¨®n sobre ellos.