La cinta que tiene solo una cara

Hace 150 a?os fallec¨ªa en Gotinga un matem¨¢tico y astr¨®nomo te¨®rico alem¨¢n, August Ferdinand M?bius (1790-1868), fundamentalmente conocido por un famoso objeto matem¨¢tico que lleva su nombre. La Banda de M?bius se estudia en la topolog¨ªa, el ¨¢rea de las matem¨¢ticas centrada en las propiedades cualitativas de los objetos geom¨¦tricos, es decir, en aquellas que no var¨ªan cuando el objeto es estirado o contra¨ªdo, sin romper ni pegar. En topolog¨ªa, por tanto, no son importantes ni los tama?os, ni las posiciones: es la geometr¨ªa de la plastilina.

La Banda de M?bius se obtiene al pegar dos lados opuestos de un rect¨¢ngulo, uno de los cuales se gira antes 180 grados (ver imagen abajo). Posee una sorprendente propiedad: tiene una ¨²nica cara ¨Ces posible dibujar una circunferencia sobre ella sin levantar el rotulador del papel y quedando toda la superficie marcada¨C. Numerosos dise?os industriales utilizan esta cualidad: cintas transportadoras de materiales calientes, correas abrasivas o cartuchos de tinta con forma de banda de M?bius en vez de cil¨ªndrica, que duran el doble de tiempo al utilizarse de manera ¨®ptima su ¨²nica cara.

Otra de sus peculiaridades es que dispone de un solo borde ¨Cse puede pasar el dedo sobre ¨¦l para comprobarlo¨C y es no orientable, es decir, no es posible hacer una elecci¨®n consistente de vector normal en cada punto. Esto ¨²ltimo se puede comprobar dibujando flechas verticales sobre el rect¨¢ngulo; al construir la banda ?habr¨¢n cambiado de sentido! De hecho, cualquier objeto no orientable contiene una banda de M?bius, como el plano proyectivo real o la botella de Klein. La falta de orientabilidad es una propiedad que da mucha informaci¨®n sobre objetos que se estudian en nanotecnolog¨ªa o cosmolog¨ªa.

Las extra?as caracter¨ªsticas de la banda de M?bius la convierten en un ejemplo contraintuitivo, en el que pueden fallar algunas propiedades que se espera que sean ciertas para las superficies en general. De esta manera tambi¨¦n se avanza en matem¨¢ticas: para saber si una propiedad es cierta, o bien se demuestra de forma general, o bien se encuentra un caso en el que no lo es (lo que se llama un contraejemplo). La banda de M?bius es una excelente fuente de contraejemplos.

Fue descubierta en 1858 por August Ferdinand M?bius y, de forma independiente, por el fundador de la topolog¨ªa, Johan Benedict Listing. Las instrucciones para construirlo, junto con alguna descripci¨®n de sus propiedades topol¨®gicas, se encontraron en una memoria presentada por M?bius a la Acad¨¦mie des Sciences francesa, alg¨²n tiempo despu¨¦s de su fallecimiento en Leipzig. Hasta entonces nadie hab¨ªa sido capaz de describir formalmente sus especiales propiedades topol¨®gicas.

M?bius naci¨® en Schulpforta el 17 de noviembre de 1790. Los primeros a?os de su educaci¨®n corrieron a cargo de su madre, Johanne Katharine Christiane Keil, descendiente del reformador religioso Mart¨ªn Lutero. Su padre falleci¨® cuando ten¨ªa tres a?os y fue ella quien se ocup¨® de su formaci¨®n hasta que cumpli¨® los trece, cuando ingres¨® en el colegio de Schulpforta, su ciudad de nacimiento.

Aunque su familia deseaba que estudiara Derecho, solo lo hizo durante un semestre, ya que su pasi¨®n era la ciencia. Estudi¨® matem¨¢ticas, astronom¨ªa y f¨ªsica en diferentes universidades y con grandes cient¨ªficos de su ¨¦poca: en Leipzig aprendi¨® astronom¨ªa con Karl Mollweide, en Gotinga continu¨® con esta materia bajo la supervisi¨®n de Carl Friedrich Gauss y en Halle tuvo como instructor a Johann Friedrich Pfaff. En 1815, supervisado por Pfaff, complet¨® su tesis doctoral sobre m¨¦todos de c¨¢lculo aplicados al estudio de estrellas fijas ocultadas por planetas.

En 1816, recomendado por Gauss, fue designado profesor extraordinario de la C¨¢tedra de Astronom¨ªa y Mec¨¢nica Superior de la Universidad de Leipzig; en 1844 fue nombrado Catedr¨¢tico. En 1848 se convirti¨® en el director del Observatorio de Leipzig, tras supervisar su reconstrucci¨®n. Adem¨¢s, desde 1846, fue miembro de la Academia de Ciencias de Gotinga.

Casi todo su trabajo fue publicado en Crelle, la primera revista dedicada exclusivamente a art¨ªculos de investigaci¨®n en matem¨¢ticas. Dej¨® un importante legado cient¨ªfico que trascendi¨® la propia ciencia. Adem¨¢s de las ya comentadas aplicaciones, su banda ha inspirado a artistas de todos los ¨¢mbitos, como met¨¢fora del infinito, del eterno retorno. Con este sentido, aparece en el s¨ªmbolo del reciclado, dise?ado por Gary Anderson en 1970: las tres flechas colocadas de manera triangular representan la recogida de materiales, el reciclaje y la reutilizaci¨®n, un proceso c¨ªclico que contin¨²a sin fin.

Marta Macho-Stadler es profesora del Departamento de Matem¨¢ticas de la Universidad del Pa¨ªs Vasco

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".