Campos magn¨¦ticos en una taberna escocesa

La ciudad de Le¨®polis, en la actual Ucrania, perteneci¨® al imperio austro-h¨²ngaro desde el siglo XVIII hasta su colapso con la Primera Guerra Mundial, pasando a formar parte de Polonia entre los a?os 1919 y 1939. En el periodo de entreguerras, la comunidad matem¨¢tica de Le¨®polis inclu¨ªa a un buen n¨²mero de los mejores matem¨¢ticos del mundo, encabezados por el distinguido analista polaco Stefan Banach.

Uno de los lugares de reuni¨®n y trabajo predilectos de Banach era una taberna cercana a la universidad llamada Caf¨¦ Escoc¨¦s. Tras largas horas de discusi¨®n, las mesas de m¨¢rmol de este establecimiento acababan cubiertas por f¨®rmulas escritas a l¨¢piz, que eventualmente eran borradas por el propietario para consternaci¨®n de Banach y de otros destacados matem¨¢ticos como Stanis?aw Mazur y Stanis?aw Ulam. Por ello, la esposa de Banach decidi¨® comprar un grueso cuaderno, en el que recog¨ªan los problemas que no consegu¨ªan resolver tras largas horas de trabajo, y que permanec¨ªa en el Caf¨¦ Escoc¨¦s.

Este cuaderno, conocido como el Libro Escoc¨¦s, conten¨ªa una legendaria colecci¨®n de problemas abiertos, principalmente sobre an¨¢lisis funcional y topolog¨ªa. Quien resolv¨ªa alguno de estos frecuentemente obten¨ªa un premio ofrecido por alguno de estos matem¨¢ticos, como una jarra de cerveza, una botella de buen brandy o incluso una oca viva. Evidentemente, estas recompensas resultan m¨¢s sustanciosas en su contexto hist¨®rico: eran los a?os de la Gran Depresi¨®n anterior a la Segunda Guerra Mundial. La oca la recibi¨® el sueco Per Enflo en 1972, muchos a?os despu¨¦s, de manos de Mazur, cuando resolvi¨® el c¨¦lebre problema 153 al construir un espacio de Banach que no admite una base de Schauder. La ceremonia fue retransmitida en directo por la televisi¨®n polaca.

Nuestro contacto personal con el Libro Escoc¨¦s es a trav¨¦s de su mayor contribuidor de problemas: Stanislaw Ulam, quien a?os despu¨¦s se describir¨ªa con sorna como ¡°un matem¨¢tico puro que hab¨ªa ca¨ªdo tan bajo, que su ¨²ltimo art¨ªculo ten¨ªa n¨²meros con decimales¡±. Esto hace referencia a sus importantes contribuciones al Proyecto Manhattan en los a?os cuarente y cincuenta, cuando los Estados Unidos trabajaban para crear la bomba at¨®mica antes de que lo hiciera el Gobierno nazi. Para hacerse una idea del legado cient¨ªfico de Ulam, basta echar un vistazo a la lista de contribuciones que llevan su nombre, que incluye los teoremas de Borsuk-Ulam, Mazur-Ulam y Kuratowski-Ulam en matem¨¢ticas, el dise?o de Teller-Ulam y el modelo Fermi-Ulam en f¨ªsica nuclear, o el sistema de Fermi-Pasta-Ulam con que da comienzo la llamada matem¨¢tica experimental. Ulam tambi¨¦n desarroll¨®, junto con Nicholas Metropolis y John Von Neumann, el famoso algoritmo num¨¦rico basado en n¨²meros aleatorios que llamaron m¨¦todo de Montecarlo, en honor a la afici¨®n de un t¨ªo de Ulam por el casino hom¨®nimo.

Ulam pens¨® e hizo experimentos num¨¦ricos sobre el problema recurrentemente a lo largo de su vida, y lo incluy¨® en sus colecciones de problemas abiertos publicadas posteriormente. Y aunque ¨¦l muri¨® sin ver el problema resuelto, hoy podemos dar una respuesta bastante satisfactoria: la geometr¨ªa del campo magn¨¦tico no refleja el anudamiento del cable, pero casi. Hemos demostrado que hay cables anudados de forma compleja con l¨ªneas magn¨¦ticas de topolog¨ªa tan sencilla como en el caso de la espira circular, pero que basta crear cuidadosamente un peque?o encrespamiento en el cable para que surjan l¨ªneas magn¨¦ticas que reflejan fielmente su anudamiento. Haciendo honor a la escuela matem¨¢tica surgida en Le¨®polis, la demostraci¨®n de este hecho combina ideas topol¨®gicas con m¨¦todos de an¨¢lisis funcional.