El azar, el infinito y lo inmenso

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada cu¨¢l es la probabilidad de que una circunferencia trazada al azar sobre una hoja de papel cuadriculado pase por alguno de los puntos de intersecci¨®n de la cuadr¨ªcula. En el mundo real, donde incluso las fin¨ªsimas l¨ªneas de un papel cuadriculado tienen un cierto grosor y sus puntos de intersecci¨®n no son inextensos, la probabilidad es baja pero no nula, ni siquiera despreciable. Pero si hablamos de una cuadr¨ªcula y una circunferencia ideales, la probabilidad es 0.

Consideremos, para simplificar, que tomamos como centro de la circunferencia uno de los puntos de intersecci¨®n. Tomando como unidad el lado de los cuadraditos de la cuadr¨ªcula, es f¨¢cil ver que si el radio no es un n¨²mero entero, la circunferencia no pasar¨¢ por ning¨²n punto de intersecci¨®n, pues, tomando ese centro como origen de unas coordenadas, la ecuaci¨®n de la circunferencia ser¨¢ x² + y² = r², siendo r el radio de la misma. Y para que x e y sean enteros (como corresponde a los puntos de intersecci¨®n), tiene que serlo r. Y la probabilidad de que un radio elegido al azar sea un n¨²mero entero es 0, puesto que los n¨²meros enteros son una fracci¨®n infinitesimal de los n¨²meros reales.

Conviene se?alar que ¡°probabilidad 0¡± no es lo mismo que imposibilidad absoluta. Es absolutamente imposible sacar un 7 lanzando un dado con las caras numeradas del 1 al 6, pero no es imposible que una circunferencia trazada al azar pase por un punto de intersecci¨®n de la cuadr¨ªcula.

El azar y la inmensidad del oc¨¦ano

La intuici¨®n nos enga?a a menudo cuando jugamos con conceptos tan escurridizos como el azar, el infinito y lo inmenso. Hay cantidades tan enormes que, para nuestras limitadas capacidades perceptivas e imaginativas, se confunden con el infinito. Arqu¨ªmedes asombr¨® a sus contempor¨¢neos calculando, en su Arenario, el n¨²mero de granos de arena que cab¨ªan en el universo. Y en su relato de 1904 La biblioteca universal (que inspir¨® La biblioteca de Babel de Borges), Kurd Lasswitz calcul¨® el n¨²mero de libros escribibles (que ingenuamente podr¨ªamos pensar que es ilimitado).

Tendemos a pensar que los mayores n¨²meros est¨¢n en el lo muy grande, y por eso hablamos de ¡°n¨²meros astron¨®micos¡±; pero es m¨¢s f¨¢cil hallarlos en el microcosmos, as¨ª como en la combinatoria de objetos tan cotidianos y reducidos como el ajedrez o el alfabeto.

Invito a mis sagaces lectoras/es a hacer una estimaci¨®n ¡°fermiana¡± (ver Los problemas de Fermi)?del n¨²mero de libros escribibles. Y tambi¨¦n, puesto que este art¨ªculo saldr¨¢ el Viernes Santo, de la probabilidad de que al beber un vaso de agua ingiramos algunas de las mol¨¦culas de las l¨¢grimas que derram¨® Mar¨ªa ante el cad¨¢ver de Cristo; ?cu¨¢ntas ingeriremos, suponiendo que el ciclo del agua baraje las mol¨¦culas de forma homog¨¦nea y que Mar¨ªa derramara un millar de l¨¢grimas? (Un par de datos: en 18 gramos de agua -un mol- hay 6,022 x 10²³ mol¨¦culas, y en la Tierra hay unos 1.260 trillones de litros).?

Carlo Frabetti?es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos?Maldita f¨ªsica,Malditas matem¨¢ticas?o?El gran juego. Fue guionista de?La bola de cristal.