?Pueden las matem¨¢ticas desbloquear la situaci¨®n pol¨ªtica?

La pol¨ªtica es la disciplina que estudia el poder. Para analizar este campo, un buen trozo de madera al que aferrarse para no zozobrar son las matem¨¢ticas. Una primera herramienta para cuantificar el poder es el ¨ªndice Banzhaf (IB) que registra el n¨²mero de coaliciones ganadoras en las que un sujeto pol¨ªtico resulta imprescindible. Vamos a poner un ejemplo ficticio. En una alcald¨ªa se requieren un m¨ªnimo de ocho concejales para aprobar una medida. Supongamos que hay tres partidos A, B y C, y A tiene seis concejales, B tiene tres y C tiene dos. Las coaliciones ganadoras son AB, AC y ABC. El partido A es crucial en las tres coaliciones, mientras que B y C s¨®lo son imprescindibles en AB y AC, respectivamente. Entonces, IB(A)=3/5, mientras que IB(B)=IB(C)=1/5. Vemos que el poder de un partido no lo determina su n¨²mero de representantes el n¨²mero de esca?os, sino su IB. La paradoja de los nuevos miembros afirma que al ampliar el reparto del poder a nuevos miembros, el IB de los antiguos no decrece. Este resultado es generalizable a todo ¨ªndice de poder consistente.

La informaci¨®n y el poder son conceptos ¨ªntimamente relacionados. Los medios de comunicaci¨®n difunden noticias, respaldando o disminuyendo la auctoritas de un gobernante y de un sistema. Por otro lado, el origen del t¨¦rmino ¡°estad¨ªstica¡±, que viene de ¡°estado¡±, no es casual, ya que desde la antig¨¹edad, los estadistas mandaban elaborar censos, catastros, muestreos y establecer correlaciones entre fen¨®menos sociales. Y cuanta m¨¢s informaci¨®n tenga un pol¨ªtico, mejor puede elaborar su estrategia y un plan de acci¨®n. En la era de la computaci¨®n, el big data y el machine learning son herramientas imprescindibles en el tratamiento de la informaci¨®n y en la toma de decisiones.

Con estos avances tecnol¨®gicos, ?ser¨ªa posible la representaci¨®n directa, donde cada ciudadano votara sus preferencias desde su tel¨¦fono inteligente? La paradoja de Condorcet, la paradoja de Arrow y el teorema de la dictadura escondida de Kirman-Sondermann son resultados matem¨¢ticos que niegan esta posibilidad, sin que aparezca un dictador o una oligarqu¨ªa cuyo criterio coincidir¨ªa siempre con las preferencias colectivas. Estas conclusiones respaldan la ley de hierro de las oligarqu¨ªasdeRobert Michels, que afirma que toda organizaci¨®n social siempre est¨¢ dominada por un peque?o n¨²cleo de personas, debido a razones de eficiencia, iniciativa y t¨¢ctica.

En el sistema democr¨¢tico actual, para respetar los intereses de la sociedad civil que no est¨¢ presente en la toma de decisiones, ni en la elaboraci¨®n de leyes, se necesita la representaci¨®n pol¨ªtica. La unidad m¨ªnima de poder es el distrito y el sistema electoral que se emplea para elegir diputados var¨ªa en funci¨®n de los pa¨ªses. En el mundo anglosaj¨®n se usa un sistema uninominal, en el que se elige a un ¨²nico representante que act¨²a por mandato imperativo, atendiendo a las quejas de su distrito. En Espa?a est¨¢ en vigor el sistema D'Hondt, en el que los partidos obtienen diputados correspondientes a un algoritmo con sucesivas ordenaciones dependiendo de los votos y divisiones.

La votaci¨®n es un hecho pol¨ªtico fundamental porque adem¨¢s de elegir representantes, mide la legitimaci¨®n del sistema. Pero si es tan importante, cabr¨ªa preguntarse por el papel de los referendos en la vida pol¨ªtica. A este respecto, desde el punto de vista matem¨¢tico, conviene aclarar que una proposici¨®n que se somete a votaci¨®n ha de cumplir dos requisitos: no puede ser una verdad o una falsedad l¨®gica (paradoja de Wollheim) y no puede negar el sistema en el que ha sido elegida (paradoja de la democracia).

Para entender las negociaciones pol¨ªticas de la investidura en Espa?a, es ¨²til conocer algunas estrategias. Desde el punto de vista econ¨®mico, Anthony Downs, autor de La teor¨ªa econ¨®mica de la democracia explica las adaptaciones ideol¨®gicas de las distintas formaciones para ocupar el m¨¢ximo espectro, como los hoteles para ocupar la m¨¢xima longitud de costa. Un famoso modelo de teor¨ªa de juegos, el dilema del prisionero, nos ense?a que dos jefes no suelen cooperar asumiendo riesgos en com¨²n, sino que la estrategia dominante es mirar por su inter¨¦s particular. El juego de la gallina consiste en frenar un coche lo m¨¢s cerca posible de un acantilado sin caer; y el ganador es aquel que queda m¨¢s cerca del precipicio. Este juego explica numerosos fen¨®menos pol¨ªticos, como los actuales conflictos entre partidos a la hora de aceptar exigencias para pactar.

Luis ?ngel Calvo Pascual es profesor ayudante en la Escuela T¨¦cnica Superior de Ingenier¨ªa ICAI.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT).

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