El pr¨ªncipe de los matem¨¢ticos

Se cuenta que cuando Carl Friedrich Gauss ten¨ªa nueve a?os, en clase de matem¨¢ticas el profesor castig¨® colectivamente a los alumnos a sumar los n¨²meros del 1 al 100, seguramente con la esperanza de tenerlos entretenidos un buen rato. Pero el peque?o Carl hall¨® el resultado en cuesti¨®n de segundos: se dio cuenta de que el 2 y el 99, el 3 y el 98, el 4 y el 97¡­ sumaban lo mismo que el 1 y el 100, por lo que, emparejando los cien n¨²meros de esta manera, para hallar la suma total no ten¨ªa m¨¢s que multiplicar 101 x 50 = 5.050. Y generalizando este m¨¦todo es f¨¢cil hallar la f¨®rmula de la suma de los t¨¦rminos de una progresi¨®n aritm¨¦tica (?puedes deducirla?).

Para sumar los 11 n¨²meros consecutivos del problema de la semana pasada, podemos usar el m¨¦todo de Gauss: (1985 + 1995) x 11/2, y ni siquiera tenemos que efectuar la operaci¨®n para ver que el resultado ser¨¢ m¨²ltiplo de 11, lo que facilita considerablemente la soluci¨®n del problema, pues es f¨¢cil ver que todos los n¨²meros de 44 cifras resultantes de la reordenaci¨®n de los n¨²meros del 1985 al 1995 tambi¨¦n ser¨¢n m¨²ltiplos de 11, por lo que ninguno de ellos puede ser primo.

Tambi¨¦n hablamos la semana pasada de los criterios de divisibilidad, en general f¨¢ciles de entender y aplicar. Puesto que podemos poner cualquier n¨²mero, por ejemplo 324, en la forma 324 = 300 + 24, y 100 es divisible por 4, bastar¨¢ que lo sean las dos ¨²ltimas cifras, 24 en este caso, para que el n¨²mero sea divisible por 4. An¨¢logamente, puesto que 1.000 es divisible por 8, bastar¨¢ que las tres ¨²ltimas cifras de un n¨²mero sean divisibles por 8 para que el n¨²mero lo sea.

?Qu¨¦ condici¨®n ha de cumplir un n¨²mero para que, al invertir el orden de sus cifras, la diferencia entre el n¨²mero y su invertido sea divisible por 9?

El criterio de divisibilidad por 3 no es tan evidente, pero no entra?a mayor dificultad. Siguiendo, con el ejemplo anterior:

324 = 3 x 100 + 2 x 10 + 4 = 3(99 + 1) + 2(9 + 1) + 4 = 3 x 99 + 2 x 9 + 3 + 2 + 4

Y puesto que 99 y 9 son divisibles por 3, bastar¨¢ que lo sea la suma 3 + 2 + 4 para que 324 lo sea tambi¨¦n. Y puesto que 99 y 9 son divisibles por 9, el criterio tambi¨¦n es aplicable en este caso. Para que un n¨²mero sea divisible por 3 o por 9, basta que lo sea la suma de sus cifras.

Y rizando un poco el rizo, ?qu¨¦ condici¨®n ha de cumplir un n¨²mero para que, al invertir el orden de sus cifras, la diferencia entre el n¨²mero y su invertido sea divisible por 9? (Por ejemplo, 712 ¨C 217 = 495 es divisible por 9).

¡®Princeps Mathematicorum¡¯

Volviendo a Gauss, su precoz descubrimiento de las progresiones aritm¨¦ticas no fue m¨¢s que el principio de una deslumbrante carrera que le vali¨® el sobrenombre de Pr¨ªncipe de los Matem¨¢ticos. A sus fundamentales aportaciones a la teor¨ªa de n¨²meros, hay que a?adir sus importantes logros en los campos del ¨¢lgebra, el an¨¢lisis, la geometr¨ªa diferencial o la estad¨ªstica (baste recordar la famosa campana de Gauss).

Y hablando de Gauss, y puesto que en semanas anteriores hemos hablado de la teor¨ªa de Ramsey y del ¡°problema del final feliz¡±, es preciso mencionar la excelente p¨¢gina de divulgaci¨®n matem¨¢tica Gaussianos, gestionada por Miguel ?ngel Morales, donde encontrar¨¢s, entre otras muchas cosas, una amplia y amena introducci¨®n a los temas antes citados

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellosMaldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal