Johann Carl Friedrich Gauss, el ni?o prodigio que supo de todas las matem¨¢ticas

El genio hecho a s¨ª mismo. Johann Carl Friedrich Gauss fue un ni?o prodigio que naci¨® en una familia humilde y de padres analfabetos pero que fue autodidacta para aprender a leer y llegar a ser conocido como ¡°el pr¨ªncipe de los matem¨¢ticos¡± y reconocido por sus coet¨¢neos como el ¡°matem¨¢tico m¨¢s grande desde la antig¨¹edad¡±. As¨ª de simple es la definici¨®n de Carl Friedrich Gauss, que comparte el olimpo de los elegidos en las ciencias con Arqu¨ªmedes, Newton, Euler¡­ y pocos m¨¢s.

Gauss fue matem¨¢tico, astr¨®nomo, geodesta y f¨ªsico alem¨¢n que contribuy¨® significativamente en muchos campos, incluida la teor¨ªa de los n¨²meros, el an¨¢lisis matem¨¢tico, la geometr¨ªa diferencial, la estad¨ªstica, el ¨¢lgebra, la geodesia, el magnetismo y la ¨®ptica.

Su influencia fue notable en muchos campos de la matem¨¢tica y de la ciencia y sus teor¨ªas contin¨²an vigentes en la actualidad. De hecho, fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos y posiblemente la teor¨ªa de n¨²meros sea la rama de las matem¨¢ticas en la que la influencia ejercida por Gauss haya sido mayor, aunque ni mucho menos la ¨²nica.

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Aritm¨¦tica y geograf¨ªa

Su nombre completo es Johann Carl Friedrich Gauss y naci¨® un 30 de abril en Brunswick, Alemania. La prodigiosidad de Gauss en su ni?ez, en lo que se refiere a las matem¨¢ticas en general, y al c¨¢lculo en particular, qued¨® patente a los 3 a?os cuando corrigi¨® a su padre una operaci¨®n que estaba realizando relacionada con pagos de salarios a los trabajadores que ten¨ªa a su cargo. Sin embargo, la an¨¦cdota m¨¢s conocida de su infancia ocurri¨® en el colegio cuando ten¨ªa 7 a?os. El profesor castig¨® a toda la clase con sumar todos los n¨²meros naturales desde el 1 hasta el 100 y casi de forma instant¨¢nea Gauss ten¨ªa la respuesta correcta: 5.050.

Los profesores de Gauss vieron en ¨¦l un don para las matem¨¢ticas, as¨ª que hablaron con sus padres para que recibiera clases complementarias. Cuando apenas ten¨ªa 10 a?os Johann Carl Friedrich Gauss ya hab¨ªa descubierto dos m¨¦todos para calcular ra¨ªces cuadradas de n¨²meros de 50 cifras decimales y hasta encontr¨® peque?os errores en tablas logar¨ªtmicas que cayeron en sus manos.

Fue recomendado al duque de Brunswick por sus profesores y ¨¦ste le subvencion¨® sus estudios secundarios y universitarios. Con 11 a?os ingres¨® en la escuela secundaria, donde aprendi¨®, sobre todo, cultura cl¨¢sica. No descuid¨®, sin embargo, su formaci¨®n matem¨¢tica, que continu¨® con clases particulares y la lectura de libros. All¨ª conoci¨® al matem¨¢tico Martin Bartels, que fue su profesor. Ambos estudiaron juntos, se apoyaron y se ayudaron para descifrar y entender los manuales que ten¨ªan sobre ¨¢lgebra y an¨¢lisis elemental.

A pesar de su juventud,?Johann Carl Friedrich Gauss ya hab¨ªa descubierto la ley de los m¨ªnimos cuadrados, lo que indica su temprano inter¨¦s por la teor¨ªa de errores de observaci¨®n y su distribuci¨®n. A los 17 tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometr¨ªa y a los 18 a?os dedic¨® sus esfuerzos a completar lo que, a su juicio, hab¨ªan dejado sin concluir sus predecesores en materia de teor¨ªa de n¨²meros. As¨ª, descubri¨® su pasi¨®n por la aritm¨¦tica, ¨¢rea en la que poco despu¨¦s tuvo sus primeros ¨¦xitos. Su gusto por la aritm¨¦tica prevaleci¨® por toda su vida, ya que para ¨¦l ¡°la matem¨¢tica es la reina de las ciencias y la aritm¨¦tica es la reina de las matem¨¢ticas¡±.

Nadie dudaba de que Gauss en ese momento ya ten¨ªa suficientes conocimientos como para haberse graduado, as¨ª que en 1795 dej¨® el centro habiendo hecho tantas matem¨¢ticas como para terminar una carrera, pero lo hizo para ingresar en la Universidad de G?ttingen, posiblemente por la gran biblioteca matem¨¢tica que pose¨ªa.

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Probabilidades parad¨®jicas

Su primer gran resultado en 1796 fue la demostraci¨®n de que se puede construir un heptadec¨¢gono, un pol¨ªgono regular de 17 lados, con regla y comp¨¢s en el sentido cl¨¢sico de este tipo de construcciones. En solo seis meses, Gauss resolvi¨® un problema que matem¨¢ticos hab¨ªan intentado solucionar durante 2.000 a?os. Los antiguos griegos hab¨ªan demostrado que los pol¨ªgonos regulares de 3, 5 y 15 lados pueden construirse utilizando solo una regla y una comp¨¢s, pero no han podido descubrir m¨¢s formas de este tipo. Pero Gauss fue incluso m¨¢s all¨¢ del heptadec¨¢gono. Descubri¨® una f¨®rmula matem¨¢tica para encontrar todos los pol¨ªgonos regulares que pueden construirse usando solamente regla y comp¨¢s, y encontr¨® 31. Gauss estaba tan orgulloso de la demostraci¨®n de este resultado que decidi¨® estudiar Matem¨¢ticas.

Como an¨¦cdota, Johann Carl Friedrich Gauss?mantuvo un diario de sus descubrimientos, comenzando con el heptadec¨¢gono. El diario, que enumera 146 descubrimientos, estuvo perdido durante m¨¢s de 40 a?os despu¨¦s de su muerte.

Estando todav¨ªa en la universidad Gauss realiz¨® otros importantes descubrimientos, entre los que destacan la aritm¨¦tica modular, que sirvi¨® para unificar la teor¨ªa de n¨²meros; la ley de reciprocidad cuadr¨¢tica, enunciada pero no demostrada completamente por Legendre unos a?os antes, y tambi¨¦n que todo n¨²mero entero positivo puede expresarse como suma de como mucho tres n¨²meros triangulares.

Dos a?os tan intensos en G?ttingen le bastaron para darse cuenta de que ya nadie pod¨ªa hacerle avanzar all¨ª, por lo que regres¨® a su casa en Brunswick para escribir su tesis doctoral. Una investigaci¨®n que present¨® en 1799 y que vers¨® sobre el teorema fundamental del ¨¢lgebra, que establece que toda ecuaci¨®n algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas.

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Diez mujeres matem¨¢ticas de antes y ahora

En 1801 Gauss public¨® las Disquisiciones aritm¨¦ticas, una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformaci¨®n de las matem¨¢ticas y en especial en el ¨¢mbito de la teor¨ªa de n¨²meros. En esa obra destacan los siguientes hallazgos: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadr¨¢tica; una soluci¨®n algebraica al problema de c¨®mo determinar si un pol¨ªgono regular de ¡®n¡¯ lados puede ser construido de manera geom¨¦trica; un tratamiento exhaustivo de la teor¨ªa de los n¨²meros congruentes; y numerosos resultados con n¨²meros y funciones de variable compleja que marcaron el punto de partida de la moderna teor¨ªa de los n¨²meros algebraicos.

Cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide ¡®Ceres¡¯, avistado por primera vez pocos meses antes, su fama creci¨® de forma exponencial. Para lograrlo emple¨® el m¨¦todo de los m¨ªnimos cuadrados que ¨¦l mismo desarroll¨® en 1794 y que en la actualidad contin¨²a siendo la base computacional de estimaci¨®n astron¨®mica.

En 1807 acept¨® el puesto de profesor de Astronom¨ªa en el Observatorio de G?ttingen, cargo en el que permaneci¨® durante el resto de su vida. Tal vez lo hizo porque un a?o antes falleci¨® el duque de Brunswick y con ¨¦l tambi¨¦n acab¨® el apoyo financiero a Gauss. El cient¨ªfico tom¨® su nuevo trabajo de astronom¨ªa en serio, utilizando regularmente su telescopio para observar el cielo nocturno, e hizo varias mejoras pr¨¢cticas a los instrumentos astron¨®micos y supervis¨® la construcci¨®n de un nuevo observatorio.

En esos a?os Johann Carl Friedrich Gauss madur¨® sus ideas sobre la construcci¨®n de una geometr¨ªa l¨®gicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas y con la que se adelant¨® en m¨¢s de treinta a?os a los trabajos posteriores de Lobachevskiy y Bolyai.

En esos a?os, su esposa, con quien hab¨ªa contra¨ªdo matrimonio en 1805, falleci¨® al dar a luz a su tercer hijo; y m¨¢s tarde se cas¨® en segundas nupcias y tuvo tres hijos m¨¢s.

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Del pito-pito-gorgorito al c¨¢lculo del IBAN

En 1820, ocupado en la determinaci¨®n matem¨¢tica de la forma y el tama?o del globo terr¨¢queo, Gauss desarroll¨® numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales. Entre ellas destaca la curva de distribuci¨®n de errores que lleva su nombre, conocida tambi¨¦n con el apelativo de distribuci¨®n normal y que constituye uno de los pilares de la estad¨ªstica.

Otros resultados relacionados con su inter¨¦s por la geodesia son la invenci¨®n del heliotropo, y, en el campo de la matem¨¢tica pura, sus ideas sobre el estudio de las caracter¨ªsticas de las superficies curvas que, desarrolladas en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometr¨ªa diferencial.

Tambi¨¦n prest¨® atenci¨®n al fen¨®meno del magnetismo, que culmin¨® con la instalaci¨®n del primer tel¨¦grafo el¨¦ctrico (1833). En 1835 Gauss formul¨® la ley o teorema de Gauss. Esta ley fue una de sus contribuciones m¨¢s importantes en el campo del electromagnetismo, y de ella derivar¨ªan dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell.

Otras ¨¢reas de la f¨ªsica que Gauss estudi¨® fueron la mec¨¢nica, la ac¨²stica, la capilaridad y, muy especialmente, la ¨®ptica, sobre la que public¨® el tratado Investigaciones di¨®ptricas (1841), en las que demostr¨® que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las caracter¨ªsticas adecuadas.

Posiblemente fue la ¨²ltima aportaci¨®n fundamental de Johann Carl Friedrich Gauss, un cient¨ªfico cuya profundidad de an¨¢lisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de ¡°pr¨ªncipe de los matem¨¢ticos¡± y que fue tan reconocido que los ¨²ltimos billetes de 10 marcos en Alemania, antes de la entrada del euro ten¨ªan su efigie.

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Gauss y Dantzig: del mito a la realidad

Gauss fue un perfeccionista, hasta el punto de que solo public¨® obras que cre¨ªa eran perfectas. Muchos de los avances significativos que descubri¨® permanecieron in¨¦ditos hasta despu¨¦s de su muerte, como bastante oculta fue siempre su capacidad docente, al pensar que los alumnos no estaban lo suficientemente preparados, si bien hasta eso cambi¨® a lo largo de su vida y se convirti¨® en un im¨¢n de talentos en la universidad de G?ttingen, ciudad en la que falleci¨® mientras dorm¨ªa el 23 de febrero de 1855. Ten¨ªa 77 a?os.

Fue enterrado en el cementerio Albanifriedhof de G?ttingen, cerca de la universidad. En sus ¨²ltimos a?os, Gauss segu¨ªa estando tan orgulloso de su logro juvenil del heptadec¨¢gono que pidi¨® que fuera tallado en su l¨¢pida, al igual que Arqu¨ªmedes ten¨ªa una esfera dentro de un cilindro tallado en el suyo. Por desgracia, su deseo no se cumpli¨®, ya que el cantero dijo que ser¨ªa demasiado dif¨ªcil esculpir un heptadec¨¢gono que no se pareciera a un c¨ªrculo.

Carl Friedrich Gauss fue un hombre bondadoso, que odiaba viajar y que solo dej¨® G?ttingen una vez en 48 a?os para asistir a una conferencia en Berl¨ªn. Era un apasionado de la literatura y de la recopilaci¨®n de datos, con una biblioteca personal provista de 6.000 libros escritos en los idiomas que hab¨ªa dominado incluyendo dan¨¦s, ingl¨¦s, franc¨¦s, griego, lat¨ªn, ruso y su alem¨¢n nativo.