La conjetura de Collatz

El di¨¢metro del Sol es unas 400 veces mayor que el de la Luna, y, casualmente, su distancia a la Tierra tambi¨¦n es unas 400 veces mayor, por lo que el tama?o aparente de ambos discos, el solar y el lunar, es pr¨¢cticamente igual, lo que hace posible que, en los eclipses solares, la Luna oculte por completo el Sol y permita ver su corona.

Si las ¨®rbitas de la Tierra alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra fueran perfectamente circulares, no habr¨ªa variaciones en los tama?os aparentes de los discos solar y lunar y todos los eclipses ser¨ªan iguales. Pero, como record¨¢bamos la semana pasada, y debido a que ambas ¨®rbitas son ligeramente el¨ªpticas, la distancia de la Tierra a la Luna var¨ªa, en n¨²meros redondos, entre 360.000 y 400.000 kil¨®metros, y la de la Tierra al Sol entre 147 y 152 millones de kil¨®metros. Siempre que la Luna est¨¦ cerca del perigeo (punto de su ¨®rbita m¨¢s pr¨®ximo a la Tierra) ocultar¨¢ por completo al Sol en un eclipse, ya que la distancia de nuestra estrella siempre es mayor que 360.000 x 400 = 144 M km. Pero si la Luna est¨¢ pr¨®xima al apogeo, la relaci¨®n de distancias es menor que la relaci¨®n de di¨¢metros, y por tanto la Luna no ocultar¨¢ por completo al Sol, con la consiguiente aparici¨®n del ¡°anillo de fuego¡± alrededor del disco lunar. El m¨¢ximo anillo se producir¨ªa cuando coincidieran el apogeo y el perihelio, es decir, con la Luna a unos 400.000 km de la Tierra y el Sol a unos 147 M km; en este caso, la relaci¨®n de distancias ser¨ªa aproximadamente un 8 % menor que la relaci¨®n de di¨¢metros, por lo que el ancho del anillo ser¨ªa de unos 57.000 km.?

Otra conjetura escurridiza

Lo de ¡°otra¡± es en referencia a la de Goldbach, pues la conjetura de Collatz es igualmente f¨¢cil de formular e igualmente dif¨ªcil de demostrar. Como refiere Pablo Candela en un reciente art¨ªculo publicado en esta misma p¨¢gina (en la muy recomendable secci¨®n Caf¨¦ y teoremas, coordinada por ?gata Tim¨®n), el matem¨¢tico Terence Tao acaba de lograr un importante avance en el camino hacia la resoluci¨®n de esta conjetura formulada en los a?os treinta del siglo pasado por Lothar Collatz, seg¨²n la cual, dado un n¨²mero natural cualquiera, si le aplicamos repetidamente una sencilla transformaci¨®n que consiste en dividirlo por 2 si es par y multiplicarlo por 3 y sumarle 1 si es impar, siempre acabaremos obteniendo 1 como resultado final, sea cual fuere el n¨²mero de partida. Para los diez primeros n¨²meros naturales, las respectivas secuencias de Collatz son:

1

2, 1

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

4, 2, 1

5, 16, 8, 4, 2, 1

6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

8, 4, 2, 1

9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Un amigo matem¨¢tico ha observado que todos los n¨²meros naturales (excepto los casos m¨¢s sencillos que llevan directamente al 1) llegan en su secuencia de Collatz a un m¨²ltiplo de 16, y que es f¨¢cil demostrar que todo m¨²ltiplo de 16 lleva al 1. ?Qu¨¦ opinan al respecto mis sagaces lectoras/es?

Carlo Frabetti?es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos?Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas?o?El gran juego. Fue guionista de?La bola de cristal