Soluci¨®n al desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad 2021: compartir es rec¨ªproco

Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢tico que como cada a?o propone EL PA?S en colaboraci¨®n con la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad. Recordemos que el desaf¨ªo consist¨ªa en demostrar que el n¨²mero de quienes comparten suerte en Navidad con una cantidad impar de personas es par.

Para resolverlo, lo que vamos a hacer es considerar, para cada persona, el n¨²mero de gente con la que comparte suerte, y sumar todas estas cantidades. En el ejemplo sencillo que dimos al proponer el desaf¨ªo, esta suma ser¨ªa 3 (Ana) + 2 (Cristina) + 2 (Eva) +1 (Pedro) + 0 (Andr¨¦s) = 8, que es par.

Esto no es un accidente: en todos los casos, si sumamos los n¨²meros que nos dicen con cu¨¢nta gente comparte suerte cada jugador, esa suma es par. Esto se puede comprobar de varias maneras. Quiz¨¢s la m¨¢s sencilla es observar que las comparticiones son rec¨ªprocas, y eso obliga a que sean un n¨²mero par. As¨ª lo ha expresado el lector Jos¨¦ O. en su soluci¨®n: ¡°Vamos a suponer que cada vez que dos personas comparten loter¨ªa lo declaran a las autoridades entregando un contrato con sus nombres. Como cada contrato contiene dos nombres, el n¨²mero total de nombres escritos en los contratos es el doble que el n¨²mero de estos y, por tanto, una cantidad par¡±.

Esta es la clave para resolver el desaf¨ªo, que, expresado de otra manera, consiste en demostrar que en la suma en cuesti¨®n hay una cantidad par de sumandos impares. Para verlo observamos que, si sumamos s¨®lo los sumando pares, obtenemos una suma par. Como suma total-suma de sumandos pares=suma de sumandos impares, y par-par=par, tambi¨¦n tiene que ser par la suma de los sumandos impares. Pero (pedimos disculpas por el nuevo trabalenguas) la ¨²nica forma de que una suma de n¨²meros impares d¨¦ un n¨²mero par es que sea par la cantidad de sumandos, que es lo que quer¨ªamos demostrar.

Hemos recibido soluciones que muestran que la suma los n¨²meros que nos dicen con cu¨¢nta gente comparte suerte cada jugador es par de maneras diversas: con otras met¨¢foras, haciendo una tabla,¡­

Queremos recoger una idea que tambi¨¦n utilizan bastantes de las respuestas: representar la relaci¨®n ¡°?con qui¨¦n comparto suerte?¡± mediante lo que se conoce como un grafo. Cada persona que juega a la Loter¨ªa de Navidad la veremos como un punto (un v¨¦rtice del grafo), y uniremos dos v¨¦rtices por una l¨ªnea (una arista del grafo) si las correspondientes personas comparten suerte. Como muestra, el grafo que representa nuestro ejemplo ser¨ªa este (la imagen est¨¢ tomada de la soluci¨®n que ha enviado Juan Carlos L.):

Esto ser¨ªa otro posible ejemplo, con 34 personas compartiendo suerte:

No podemos dibujar el grafo que realmente representa el compartir suerte, porque, aparte de que no lo conocemos exactamente, tendr¨¢ varios millones de v¨¦rtices (uno por cada persona que juega a la Loter¨ªa de Navidad) y, posiblemente, algunos cientos de millones de aristas. Aun as¨ª, podemos hacer la siguiente observaci¨®n, v¨¢lida para cualquier grafo.

El n¨²mero de personas con las que un v¨¦rtice (una persona) comparte suerte coincide con el n¨²mero de aristas que llegan a esa v¨¦rtice. Como cada arista toca a dos v¨¦rtices, la suma de todos esos n¨²meros es dos veces el n¨²mero de aristas del grafo, por lo que la suma es par. Recuperamos as¨ª, por otra v¨ªa, el resultado b¨¢sico para resolver el desaf¨ªo.

No nos resistimos a se?alar que versi¨®n para grafos de nuestro desaf¨ªo se conoce como el lema de los apretones de manos. Lo demostr¨® en 1736 el insigne matem¨¢tico Leonhard Euler y tiene numerosas aplicaciones.

Varios lectores han seguido un camino algo distinto: han demostrado que, si llamamos I al n¨²mero de quienes comparten suerte con una cantidad impar de personas, la paridad de I no cambia si dos personas que no compart¨ªan suerte deciden compartir. Es decir, la paridad de I es lo que en matem¨¢ticas llamamos un invariante. Ve¨¢moslo.

Para abreviar, diremos que una persona es par/impar si comparte suerte con un n¨²mero par/impar de personas. Supongamos que Eva y Pedro no compart¨ªan y deciden compartir

- Si tanto Eva como Pedro eran pares, al a?adir la nueva compartici¨®n los dos pasan a ser impares. Por tanto I pasa a ser I+2 y su paridad no cambia.

- Si tanto Eva como Pedro eran impares, la nueva compartici¨®n hace que los dos pasen a ser pares. Por tanto a I pasa a ser I-2 y, de nuevo, su paridad no cambia.

- Si Eva es par y Pedro impar (o viceversa), con la nueva compartici¨®n Eva pasa a impar y Pedro a par, con lo que I permanece constante.

Miramos ahora c¨®mo evoluciona la paridad de I desde el momento inicial, cuando nadie ha comprado todav¨ªa ning¨²n n¨²mero y por tanto todos comparten con 0 personas. No hay entonces ninguna persona impar, por lo que I=0, par. A medida que se van compartiendo n¨²meros I va cambiando pero, como hemos visto, se mantiene su paridad, y por tanto I ser¨¢ siempre par, como nos propon¨ªa el desaf¨ªo.

Esta v¨ªa del invariante es la que han seguido, entre otros, Julia V. E., que lo ha hecho, como nosotros, a?adiendo comparticiones, y ha dado una elegante demostraci¨®n por inducci¨®n; Daniel R., de Karlsruhe (Alemania), que, en vez de a?adirlas, ha ido quitando comparticiones; o Fernando G. V., que lo ha contado como una historia.

Sentimos no poder mencionar a todas las personas que han enviado soluciones correctas (alrededor del 84% de las m¨¢s de cien recibidas en el plazo marcado), pero s¨ª queremos destacar dos que han presentados sus argumentos de manera diferente: C¨¦sar C. que, desde Londres, en lugar de considerar cu¨¢ntos n¨²meros comparte cada persona, se ha fijado en cu¨¢ntas personas comparten cada n¨²mero (?seguimos con los trabalenguas!); y Mercedes A. M. quien, en vez de quitar ¡°comparticiones¡±, ha ido quitando personas y ha dado, quiz¨¢s inconscientemente, un argumento de descenso infinito.

Tres de los autores de soluciones v¨¢lidas recibir¨¢n, por cortes¨ªa de la RSME, sendos ejemplares del libro Demostraciones con encanto. Un viaje por las matem¨¢ticas elegantes, de Claudi Alsina y Roger B. Nelsen, que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM. Son Enrique T., Isabel O. E. y Rafael R.

Conf¨ªo en que hay¨¢is disfrutado con el desaf¨ªo y agradezco los mensajes que envi¨¢is junto a las soluciones, que son un incentivo para seguir proponiendo desaf¨ªos matem¨¢ticos, incluso en estos tiempos complicados. En nombre de EL PA?S, de la RSME y en el m¨ªo propio, os deseo felices fiestas (disfrutadas con precauci¨®n), suerte ma?ana con la loter¨ªa y, sobre todo, salud.

Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n es profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.

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