Desaf¨ªo matem¨¢tico electoral: se resuelve el misterio del esca?o robado

Ya hay soluci¨®n para el ¨²ltimo desaf¨ªo matem¨¢tico electoral presentado por EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Recordemos que se trataba de presentar un ejemplo en el que haya un partido al que el M¨¦todo de Sainte-Lag¨¹e no le asigna todos los esca?os enteros que le corresponder¨ªan atendiendo a su cuota.

Nos propusieron el desaf¨ªo Ang¨¦lica Benito Sualdea y Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesores de la Universidad Aut¨®noma de Madrid, que nos dan ahora su soluci¨®n.

Supongamos que tenemos que repartir 5 esca?os entre 5 partidos, que han recibido respectivamente 21.000, 7.400, 7.300, 7.200 y 7.100 votos, de modo que en total han votado 50.000 personas.

Como 21.000/3=7.000 < 7.100, Sainte-Lagu? asigna un esca?o a cada uno de los 5 partidos, a pesar de que la cuota del primero es:

5 x 21.000 / 50.000 = 2,1>2

?C¨®mo hemos encontrado este ejemplo? Puesto que Sainte-Lagu? dificulta con respecto a d'Hondt obtener el segundo esca?o, ya que se divide entre 3 en lugar de entre 2, hemos buscado que un partido "grande" con cuota>2 no obtuviese su segundo esca?o antes de que n partidos peque?os obtuviesen el primero.

Supongamos que hay n partidos (peque?os), con v votos cada uno, y un partido "grande" con V votos, y que se trata de repartir n+1 esca?os. Buscamos dos cosas:

1) Cuota de del partido grande mayor que 2: V x (n+1) / (nv+V) >2. Esto equivale a (n+1)V > 2nv+2V, o lo que es lo mismo, V > 2nv /(n-1)

2) El partido grande obtiene el segundo esca?o despu¨¦s de que los dem¨¢s obtengan el primero: V/3<v

Poniendo ambas condiciones juntas, lo que buscamos es que:

3v > V > 2nv /(n-1)

?Por tanto es necesario que 3> 2n/(n-1), de modo que 3n-3>2n, es decir, n>3.

?Podemos tomar n=4 y entonces lo que nos hace falta es que haya enteros v y V que cumplan

?3v > V > 8v/3

?No se puede tomar v=3, porque no hay ning¨²n entero V tal que 9>V>8, pero s¨ª podemos tomar v=4 y V=11 ya que 3x4> 11> 8 x4 /3

?Por tanto podr¨ªamos haber repartido 5 esca?os entre 5 partidos con 11, 4, 4, 4 y 4 votos (u 11.000, 4.000, 4000, 4.000 y 4.000, si queremos n¨²meros m¨¢s grandes).

?Pero hemos intentado encontrar un ejemplo en el que no hubiese partidos empatados y en el que las cuentas saliesen "sin infinitos decimales". Para eso hemos buscado una situaci¨®n con 5 esca?os y 5 partidos en la que los 4 partidos peque?os tuviesen v, v+1, v+2 y v+3 votos y la cuota del grande fuese exactamente 2,1, lo que nos lleva a las siguientes condiciones:

?5V/(4v+6+V)=2,1 y V<3v

?Trabajando un poco, y atendiendo a la divisibilidad, hemos llegado a la soluci¨®n v=71 y V=210, y multiplicando por 100 ha resultado el ejemplo con el que hemos empezado: repartir 5 esca?os entre 5 partidos, que han recibido respectivamente 21.000, 7.400, 7.300, 7.200 y 7.100 votos.

Se han recibido 60 respuestas en el corto plazo que hemos dado esta vez para enviar soluciones, de las que 13 no podemos considerarlas correctas (en general se han despistado en alguna cuenta, y lo que dan no es realmente un ejemplo de lo que busc¨¢bamos).

Entre los ejemplos v¨¢lidos, los hay de todo tipo: con n¨²meros grandes y peque?os; repartiendo muchos esca?os o pocos; unos con cifras redondas y otros con cocientes con infinitos decimales; a veces buscando que los datos parezcan reales y otras preocup¨¢ndose por encontrar la soluci¨®n m¨¢s peque?as.

?En cuanto al procedimiento, casi todos los lectores se han dado cuenta de que, al dividir por n¨²meros mayores que D'Hondt, Sainte-Lagu? va a perjudicar al partido grande. A partir de esa observaci¨®n, unos han buscado un ejemplo tanteando; otros han seguido nuestro camino y han utilizado f¨®rmulas para encontrar valores adecuados de los par¨¢metros; y un grupo nutrido se ha valido del ordenador para barrer un conjunto amplio de posibilidades hasta encontrar una soluci¨®n.

?Algunos lectores han ido m¨¢s all¨¢ de lo que se ped¨ªa. Por ejemplo, Peter T. es de los que ha intentado buscar el ejemplo "m¨¢s peque?o", pero ha a?adido una explicaci¨®n de c¨®mo eso puede depender de las reglas de desempate. ?lvaro A. ha generado un ejemplo con los datos del sistema electoral espa?ol visto como circunscripci¨®n ¨²nica: 350 esca?os y 37.000.608 votantes (seg¨²n el INE, aclara). Por su parte, Joaqu¨ªn S. nos ha presentado un ejemplo sencillo en el que un partido pierde no uno, sino dos esca?os con respecto a la parte entera de su cuota.

Pero la soluci¨®n que nos ha parecido m¨¢s espectacular es la de Jos¨¦ Ram¨®n E., que la ha llamado Blancanieves y los siete enanitos. Ha encontrado un ejemplo con 13 esca?os a repartir entre 8 partidos en el que Blancanieves, con el 64,98 % de los votos (lo que corresponde a una cuota de 8,4), se lleva s¨®lo 6 esca?os, mientras los otros 7 van uno a cada enanito. Observa Jos¨¦ Ram¨®n que esto podr¨ªa ser una caso real, por ejemplo en un ayuntamiento, en el que una alianza pos-electoral de siete partidos que sumasen entre todos s¨®lo el 35,02 % de los votos se hiciese con la alcald¨ªa, mandando a Blancanieves a la oposici¨®n.

Consideramos que este ingenioso ejemplo hace a Jos¨¦ Ram¨®n E. merecedor de recibir, como regalo de la RSME, el libro Soluciones ?Aj¨¢! de Martin Erickson, que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM.

?Esperamos que hay¨¢is disfrutado y que hay¨¢is aprendido algo m¨¢s sobre las dificultades que entra?a repartir proporcionalmente objetos no divisibles, como son los esca?os.