Una caminata de m¨¢s de tres horas

Ya hay soluci¨®n para el decimoctavo desaf¨ªo con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. David Obrador Sala, profesor de matem¨¢ticas de educaci¨®n secundaria y miembro de la Associaci¨® Catalana de GeoGebra, plante¨® el problema (v¨ªdeo de la izquierda) y ahora lo resuelven (v¨ªdeo de la derecha). Esta semana ten¨ªamos que averiguar cu¨¢nto tiempo emplear¨ªa cada d¨ªa una tribu instalada en alg¨²n lugar de un terreno con forma de tri¨¢ngulo equil¨¢tero de 10 kil¨®metros de lado en aprovisionarse de agua y alimentos en los tres bordes del territorio si se desplazara a una velocidad de 5 km/h.

Se han recibido 1.120 respuestas dentro del plazo, de las que aproximadamente un 50% observaban y demostraban que el tiempo que la tribu necesita para su recorrido diario es de 3,46 horas diarias y que esta cifra no depende del punto del tri¨¢ngulo en el que est¨¦ situado el poblado. Pensamos que este resultado, conocido entre los matem¨¢ticos como Teorema de Viviani, puede resultar curioso para quienes no lo conociesen (y aprovechamos para recordar que nuestro objetivo es llegar a un p¨²blico amplio mediante desaf¨ªos variados).

Efectuado el sorteo, el ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que se distribuye cada domingo con EL PA?S ha resultado ser Miguel Serrano Palacio, de Boadilla del Monte (Madrid), que ha dado una respuesta muy original aunque un poco larga para reproducirla. Esta semana, por 9,95 euros con el peri¨®dico en el quiosco, Hipotecas y ecuaciones, de Llu¨ªs Artal y Josep Sales.

Pasemos a la soluci¨®n. Una buena demostraci¨®n es la que nos ha enviado Manuel Pedrajas Estepa:

Sea un punto interior al triangulo equil¨¢tero, que dista en perpendicular (camino m¨¢s corto) a los tres lados h1; h2; h3. Este punto y los v¨¦rtices forman tres tri¨¢ngulos, cuyas ¨¢reas sumadas dan el ¨¢rea del tri¨¢ngulo grande, cuya altura H se calcula usando el Teorema de Pit¨¢goras.

Por tanto 10*H/2= (10*h1+10*h2+10*h3)/2, as¨ª que siempre h1+h2+h3=H=(10*ra¨ªz(3))/2

Como es ida y vuelta tenemos que se recorr¨ªan 10*1.732, que a 5 km/h significan 2*1.732 horas. Resultado: 3,46 horas.

Otros soluciones utilizan un poco de trigonometr¨ªa, las hay que incluyen applets de GeoGebra (como los usados en el v¨ªdeo, que se pueden encontrar en esta direcci¨®n para la experimentaci¨®n y en esta otra para la demostraci¨®n) y algunas, sin calcular ¨¢reas, se apoyan en nociones b¨¢sicas de geometr¨ªa, como la demostraci¨®n sin palabras de Juan Canteli que aparece en el pdf adjunto.

Hay varios lectores que, puesto que el problema se present¨® como una historia, han respondido del mismo modo (algunas, por cierto, muy literarias, originales y divertidas) entre ellos Xavier Giralt. Reproducimos su texto:

"El peque?o grupo de antepasados nuestros andaban dentro del triangulo buscando un buen lugar donde asentarse, cuando una peque?a ni?a grit¨®:

- ???Aqu¨ª, aqu¨ª !!! ... que en este prado lleno de flores la miel ser¨¢ bien rica - Pero hermanita - reaccion¨® su hermano mayor - debemos situarnos en el centro del tri¨¢ngulo, que as¨ª dedicaremos menos tiempo a andar hacia cada uno de los lados.

Afortunadamente hab¨ªa un anciano entre el grupo que explic¨® como en un tri¨¢ngulo equil¨¢tero la suma de las distancias entre un punto interior y cada uno de los lados es siempre la misma. De esta forma, pod¨ªan elegir cualquier punto interior del terreno, que siempre recorrer¨ªan una distancia equivalente a la altura del triangulo para ir, y otra para volver.

Se asentaron junto al prado lleno de flores, sabiendo que recorrer¨ªan diariamente 2*10*cos(PI/6) km. El hermano mayor tambi¨¦n sabia que recorr¨ªan 5 km cada hora, con lo que dedicar¨ªan 3,46 horas diarias a esos trayectos, ?pero disfrutando tambi¨¦n de la miel bien rica de ese prado lleno de flores!"

Como se?ala Xavier en su historia, no es necesario escoger un punto "especial" para resolver el desaf¨ªo. Elegir un punto concreto ha sido el error m¨¢s frecuente entre el 20% de respuestas que no han entrado en el sorteo.

?Y el 30% restante? Son soluciones que indican que el tiempo que la tribu necesita es independiente del punto en que se sit¨²e el poblado, pero el argumento que dan no constituye realmente una demostraci¨®n: muchos dicen que, puesto que no hemos dicho d¨®nde est¨¢ el poblado, la soluci¨®n debe ser independiente de la localizaci¨®n. A pesar de todo, tambi¨¦n han entrado en el sorteo ya que, a la vista de las respuestas, hemos revisado la presentaci¨®n del desaf¨ªo y pensamos que, si quer¨ªamos una demostraci¨®n (?y s¨ª la quer¨ªamos!), ten¨ªamos que haber preguntado de otra manera (nosotros tambi¨¦n aprendemos de vosotros).

Este jueves os presentaremos un nuevo desaf¨ªo.

La larga caminata de la tribu

De un lado para otro