Kurt G?del, cuando la l¨®gica se llen¨® de intuiciones

La l¨®gica nace con Arist¨®teles y culmina con Kurt G?del, un hijo de Plat¨®n. La filosof¨ªa, como el universo, se mueve en c¨ªrculos. G?del demostr¨® que el fundamento de la l¨®gica era la intuici¨®n (un olfato para la verdad) y que hay enunciados verdaderos que no pueden demostrarse. La conmoci¨®n que produjo su c¨¦lebre teorema de incompletitud trascendi¨® las fronteras de las matem¨¢ticas. La l¨®gica se llenaba de intuiciones. Y la intuici¨®n es, como todo el mundo sabe, esa capacidad de comprender las cosas de forma instant¨¢nea, sin necesidad de razonamiento. En los fundamentos mismos de la l¨®gica, G?del encontr¨® una pulsi¨®n suicida, una vocaci¨®n a prescindir de s¨ª misma. Y no s¨®lo eso. Puso en tela de juicio la concepci¨®n de la mente humana que hab¨ªa nacido del positivismo l¨®gico, alej¨¢ndola definitivamente de la m¨¢quina.

El a priori siempre se basa en la experiencia. El a priori es un falso comienzo. Un personaje disfrazado. Sabemos que es cierto, y lo sabemos porque hemos vivido y porque tiene sentido. Ese sentido es com¨²n y experiencial. Pertenece a una comunidad, a una sociedad y una ¨¦poca. El a priori es hist¨®rico. Adem¨¢s (y esto es lo que demostr¨® G?del), el a priori es intuitivo. El rigor de la l¨®gica es una representaci¨®n. Un teatro simb¨®lico, contempor¨¢neo y local. La l¨®gica cambia con los tiempos, como cambian las intuiciones, que son el olfato de lo real. Casi un siglo despu¨¦s de que se hicieran p¨²blicos sus teoremas, estamos todav¨ªa averiguando qu¨¦ significan y hacia d¨®nde nos llevan.

Hasta la aparici¨®n de G?del las matem¨¢ticas eran el lenguaje de la naturaleza. Un idioma que permit¨ªa descifrarlo todo. Pero los teoremas muestran que no existe una base inmutable sobre la que erigir sistemas formales de pensamiento. Un elemento humano y vivo prevalece en estos sistemas severamente precisos y rigurosos. Como el principio de complementariedad o la teor¨ªa general de la relatividad, parecen socavar el mito de la objetividad. La medici¨®n es un asunto humano en el que participan no s¨®lo el momento y el lugar (Einstein), sino tambi¨¦n la intenci¨®n (Bohr). Si somos verdaderamente emp¨ªricos, el universo ser¨ªa el conjunto de todas las observaciones y de todas las intenciones. Hablar de un universo que existe al margen de todas esas percepciones e intenciones es pura especulaci¨®n metaf¨ªsica.

Desde muy joven G?del se interes¨® por las consecuencias filos¨®ficas de las matem¨¢ticas. Pensaba, como Einstein, que la ciencia genuina nunca deb¨ªa perder de vista las grandes cuestiones de la existencia. Los teoremas de G?del nos dicen que cualquier sistema matem¨¢tico que se construya est¨¢ condenado a la incompletitud. Son teoremas metamatem¨¢ticos, como esos dibujos de Escher que se salen del papel. Sistemas formales que se trascienden a s¨ª mismos. La realidad excede nuestros intentos formales de contenerla. Sugieren, con un riguroso leguaje simb¨®lico, que no son una mera sintaxis y que apuntan a algo que est¨¢ fuera del texto.

Un esp¨ªa en la corte positivista

G?del nace el 28 de abril de 1906 en Moravia, muy cerca del monasterio donde Mendel descubri¨® en los guisantes las leyes hereditarias. Brno forma parte del imperio austroh¨²ngaro y es un importante centro textil, en cuyas f¨¢bricas trabaja su padre. La familia es de origen alem¨¢n y Kurt es el peque?o de dos hermanos. Un ni?o distante y circunspecto, con una inteligencia el¨¦ctrica y una lealtad inquebrantable a sus intuiciones. Ingresa en la Universidad de Viena en 1924. Primero estudia F¨ªsica, luego Matem¨¢ticas y, finalmente, L¨®gica. El imperio acaba de ser liquidado por la primera gran guerra, pero Viena sigue siendo una ciudad viva y creativa, un hervidero de alemanes, checos, polacos, eslovenos, magiares, rutenos, croatas y serbios, que est¨¢n muy lejos de compartir una identidad. Karl Krauss, redactor ¨²nico de un peri¨®dico sat¨ªrico, aviva todos los fuegos intelectuales. En los caf¨¦s se habla de m¨²sica, arquitectura, arte y filosof¨ªa. All¨ª surgen las teor¨ªas del inconsciente, la m¨²sica atonal, el expresionismo y la teor¨ªa cu¨¢ntica. Entre 1926 y 1928, G?del acude a las reuniones del C¨ªrculo de Viena. Primero en los caf¨¦s del centro, luego en una sala desangelada de la universidad. Las reuniones son los jueves a las seis de la tarde y s¨®lo se puede asistir por invitaci¨®n. All¨ª se comentan las obras de Wittgenstein (para quien toda l¨®gica es tautol¨®gica), que es un ¨ªdolo para Moritz Schlick, fundador del C¨ªrculo. Tambi¨¦n se abordan los fundamentos de las matem¨¢ticas, la epistemolog¨ªa y la filosof¨ªa de la ciencia. Reservado, t¨ªmido y diligente, Kurt apenas interviene en las discusiones. Muestra su conformidad o escepticismo con leves movimientos de cabeza. Pero el C¨ªrculo tiene una agenda oculta, que G?del no comparte: la impugnaci¨®n de la metaf¨ªsica. No la comparte porque, desde las lecciones de Heinrich Gomperz en la universidad, es un plat¨®nico convencido. Una pasi¨®n que mantendr¨¢ en secreto en sus relaciones con los positivistas. De hecho, considera que el error fundamental del positivismo l¨®gico es creer que todo pensamiento dotado de sentido puede reducirse a percepciones sensoriales.

El archivo G?del se encuentra en un s¨®tano de la biblioteca Firestone de la Universidad de Princeton. G?del escrib¨ªa con una t¨¦cnica taquigr¨¢fica (¡°traducida¡± por John Dawson, principal bi¨®grafo del l¨®gico) y acostumbraba a guardar todo pedazo de papel que pasaba por sus manos. En el Nachlass hay facturas, fotos familiares, manuscritos, fichas de libros, cuadernos escolares y borradores de cartas. En una de esas cartas, fechada en 1974, que en su extremada cautela decidi¨® no enviar, encontramos una declaraci¨®n significativa: ¡°Las consecuencias filos¨®ficas de mis resultados, as¨ª como los principios heur¨ªsticos que me condujeron a ellos son todo menos positivistas¡­ Soy un realista plat¨®nico desde 1925 m¨¢s o menos. Jam¨¢s he sostenido que las matem¨¢ticas sean una sintaxis. Al contrario: es precisamente esa idea la que mis resultados rebaten¡±. G?del se vali¨® de la l¨®gica matem¨¢tica, tan cara al positivismo, para desmantelar su postura antifilos¨®fica, su deseo de acabar de una vez por todas con las veleidades de la metaf¨ªsica. La importancia de sus teoremas radicaba precisamente en que mostraba el error de los positivistas (los nuevos sofistas: el hombre es la medida de todas las cosas) y de los relativistas posmodernos. Y lo hac¨ªa mediante la reivindicaci¨®n del divino Plat¨®n. Desde muy joven se hab¨ªa propuesto demostrar (as¨ª se lo confes¨® a Chomsky) que las leyes de la naturaleza eran a priori. La indecibilidad a partir de los axiomas s¨®lo indica que esos axiomas no describen cabalmente la realidad. Hay algo que los trasciende.

En 1936, Moritz Schlick muere asesinado de un tiro en las escaleras de la universidad por un alumno perturbado. El asesinato supone el final del C¨ªrculo de Viena, pero su influencia se desplazar¨¢ a Am¨¦rica. Seg¨²n la ideolog¨ªa nazi, las matem¨¢ticas estaban ¡°judificadas¡±. Freigl, Carnap y Menger huyeron de Viena. Los pensadores que frecuentaba G?del eran en su mayor¨ªa jud¨ªos. El l¨®gico regresar¨ªa un poco despu¨¦s a la Viena nazificada para proteger sus derechos en la universidad. Confundi¨¦ndole con un jud¨ªo, unos j¨®venes exaltados le dan una paliza y le pisotean las gafas. Adele, su mujer, le defiende como puede con un paraguas.

La intuici¨®n de la l¨®gica

?C¨®mo puede la l¨®gica demostrar su propia incompletitud? ?C¨®mo medir una ausencia? Parece imposible. G?del lo logr¨® con s¨®lo 23 a?os. Y lo sorprendente es que convenci¨® a todos los matem¨¢ticos de su tiempo. El hecho extraordinario tuvo lugar en la ciudad de Kant, el 7 de octubre de 1930. K?nigsberg celebraba un congreso sobre epistemolog¨ªa de las ciencias exactas que reun¨ªa a lo m¨¢s granado de la l¨®gica. G?del era entonces un joven desconocido que acababa de terminar su tesis de doctorado. Durante las primeras sesiones hablaron los pesos pesados. Todos ellos presupon¨ªan que el concepto de verdad matem¨¢tica era, de un modo u otro, reducible a la demostrabilidad. David Hilbert hab¨ªa dise?ado el programa formalista de las matem¨¢ticas para todo el siglo. Los problemas que hab¨ªa que resolver (unos cuantos, no demasiados), part¨ªan de ese presupuesto. En matem¨¢ticas es pr¨¢cticamente imposible dar un paso sin referirse (al menos impl¨ªcitamente) al infinito. Que un ser finito perore sobre el infinito es, cuando menos, parad¨®jico. Hilbert se hab¨ªa propuesto lidiar con ese problema. Los sistemas formales finitistas ten¨ªa que servir para purgar las paradojas suscitadas por el infinito, para ¡°asegurar el infinito mediante lo finito¡±.

En la ciudad donde se hab¨ªa escrito la cr¨ªtica de la raz¨®n pura, G?del demostrar¨ªa que el infinito era indome?able. Reducir el infinito a un sistema formal finito era imposible. Y tambi¨¦n lo era sacar el infinito de las matem¨¢ticas. El espectro de Plat¨®n rondaba la casa de la l¨®gica. ¡°El resultado de G?del (cuenta Rebecca Goldstein en un magn¨ªfico libro sobre el l¨®gico) proclama la solidez de la noci¨®n matem¨¢tica de infinito: es imposible extraerle su vitalidad para convertirla en una idea espectral de tipo kantiano que sobrevuele las matem¨¢ticas, pero sin penetrar en ellas¡±. El infinito est¨¢ fuera y est¨¢ dentro. El poder de las matem¨¢ticas radica precisamente en esa bilocalidad. El infinito est¨¢ imbricado en las matem¨¢ticas, las mueve e inspira y, sin embargo, no les pertenece completamente. Siempre sabe escapar de los l¨ªmites creados por un sistema formal.

El anuncio de G?del ocurri¨® durante la sesi¨®n sumaria del tercer y ¨²ltimo d¨ªa de la conferencia. No hubo dramatismo alguno y pas¨® pr¨¢cticamente desapercibido. Ninguno de los presentes advirti¨® la trascendencia de lo que acababa de ocurrir. De hecho, el acta de las sesiones no recogi¨® su breve y precisa intervenci¨®n. El joven l¨®gico mencion¨®, en una ¨²nica frase perfectamente construida, que era posible que existieran proposiciones aritm¨¦ticas verdaderas que fueran indemostrables. Y que ¨¦l lo hab¨ªa demostrado. Esto era una manera de decir que el formalismo l¨®gico ten¨ªa sus limitaciones. Hab¨ªa verdades indemostrables dentro de las matem¨¢ticas. El sue?o de Hilbert no se iba a cumplir.

Los teoremas

?C¨®mo demostrar que hay proposiciones que son al mismo tiempo verdaderas e indemostrables? Rudolf Carnap, que estaba presente, no entendi¨® la radicalidad de lo que hab¨ªa hecho G?del. La idea de que el criterio de verdad pudiera separarse del criterio de demostrabilidad. Seguramente le pareci¨® una incoherencia l¨®gica, una intuici¨®n al¨®gica. Pero G?del lo hab¨ªa demostrado con las herramientas de la l¨®gica. La l¨®gica parec¨ªa capaz de salirse de s¨ª misma, de trascenderse a s¨ª mismas. Una muestra ins¨®lita de las posibilidades del razonamiento matem¨¢tico. La estrategia de G?del era simple, la complejidad estaba en los detalles. Una concienzuda traducci¨®n de metamatem¨¢tica en matem¨¢tica mediante la llamaba ¡°numeraci¨®n G?del¡±. Un art¨ªculo de treinta p¨¢ginas en cuyos detalles no podemos entrar aqu¨ª pero que cualquier lector con cierta formaci¨®n en matem¨¢ticas puede seguir en detalle en un cap¨ªtulo de Sombras de la mente de Roger Penrose.

Como se?al¨® Thomas Kuhn, la novedad es dif¨ªcil de percibir en la ciencia normal. S¨®lo se ve lo previsto y habitual. Cada ciencia es una manera de ver y la anomal¨ªa suele pasar desapercibida. El ¨²nico que pareci¨® advertir el ¨®rdago fue John von Neumann (un seguidor del programa de Hilbert que acababa de ser demolido) y que de hecho era el portavoz en la conferencia de los formalistas, cuyo objetivo final era la coherencia completa de la ciencia matem¨¢tica. La coherencia tiene por objeto evitar la formaci¨®n de paradojas dentro del sistema. G?del hab¨ªa demostrado que la verdad trascend¨ªa el propio sistema. Existen proposiciones aritm¨¦ticas verdaderas que no son demostrables. Hay algo fuera del texto que nos habla de la verdad y que no es posible demostrar dentro del sistema. Una postura, claro est¨¢, muy plat¨®nica. La venganza del maestro del padre de la l¨®gica se hab¨ªa consumado.

La paradoja, que se supon¨ªa eliminada, se encuentra inscrita en la propia estructura de la demostraci¨®n. Existe una proposici¨®n verdadera pero indemostrable que puede expresarse dentro de un sistema si el sistema es coherente. O, dicho de otro modo, hay verdades que no pueden demostrarse dentro de un sistema formal coherente. Ese es el primer teorema de incompletitud. Y si queremos remediar esa incompletitud a?adiendo axiomas, creando un sistema formal ampliado, seguiremos encontrado proposiciones indemostrables pero verdaderas.

La conclusi¨®n es contundente. Un sistema formal no puede ser coherente y completo al mismo tiempo. ?Qu¨¦ queda fuera? Se podr¨ªa decir que dos cosas. El hacedor del sistema y los criterios escogidos para la elecci¨®n de los axiomas. Es decir, el clasificador y los criterios de la clasificaci¨®n. De ah¨ª que todo algoritmo l¨®gico sea ¡°dependiente¡± de algo externo. De ah¨ª su falta de autosuficiencia o, como dir¨ªan los budistas, de naturaleza propia.

G?del, en un alarde de imaginaci¨®n desbordante y minuciosidad legalista (un ingenioso artificio contable: la ¡°numeraci¨®n G?del¡±, que permit¨ªa combinar relaciones formales dentro del sistema con relaciones aritm¨¦ticas de la vida real), hab¨ªa desmantelado las ambiciones del programa formalista de Hilbert. De hecho, el primer teorema de incompletitud especificaba c¨®mo construir una proposici¨®n verdadera pero indemostrable no s¨®lo para el sistema formal de la aritm¨¦tica, sino para cualquier otro sistema formal que contenga aritm¨¦tica.

El segundo teorema de incompletitud, como advirti¨® John von Neumann, es consecuencia directa del primero. Desbarata el sue?o de Hilbert de una trasparencia matem¨¢tica. Viene a decir que la coherencia interna es imposible. Dicho de un modo m¨¢s preciso: la coherencia de los sistemas formales finitistas s¨®lo puede demostrarse con argumentos que no pueden expresarse dentro del sistema. Las consecuencias son espeluznantes. Primero se ha mostrado que los sistemas, si son coherentes, son incompletos. Ahora se a?ade que, si son completos, son incoherentes. Se trata de una limitaci¨®n inherente al conocimiento formal, que sintoniza con el principio de incertidumbre de Heisenberg y con el principio de complementariedad de Bohr. Europa se tambalea bajo la amenaza del nazismo y, mientras tanto, se desatan todas estas incertidumbres epist¨¦micas.

El segundo teorema pone al formalismo en un aprieto insalvable. Resultaba esencial que un sistema formal (una sintaxis despojada de conocimiento descriptivo) tuviera su coherencia garantizada. Pero esto s¨®lo puede garantizarse saliendo del sistema y recurriendo a intuiciones imposibles de formalizar. La intuici¨®n matem¨¢tica se muestra salvaje, no se deja dominar por el formalismo. Y, parad¨®jicamente, se puede demostrar esa indomabilidad. El genio de G?del lo hab¨ªa hecho.

Hilbert, obviamente, se enfad¨® al ver desbaratado su plan. Hab¨ªa tratado de vacunar a las matem¨¢ticas contra la paradoja, de eliminar todo recurso a la intuici¨®n, pero G?del hab¨ªa dado al traste con ese programa de esterilizaci¨®n. Wittgenstein menospreci¨® el descubrimiento, que redujo a meros ¡°truquitos l¨®gicos¡±. Wittgenstein ve¨ªa el lenguaje fragmentado en diversos juegos de lenguaje independientes, cada uno con su propio conjunto de reglas. Rechazaba categ¨®ricamente que pudiera existir un ¡°lenguaje formal¡± puro o independiente de otras experiencias ling¨¹¨ªsticas. Las matem¨¢ticas eran para ¨¦l una cuesti¨®n sint¨¢ctica, cuyos resultados no pod¨ªan tener un significado metamatem¨¢tico. ¡°Mi labor no es hablar de la demostraci¨®n de G?del, sino soslayarla¡±, lleg¨® a decir. El propio Tractatus pod¨ªa verse como una versi¨®n de esa incompletitud inherente al fen¨®meno ling¨¹¨ªstico. (Una carencia esencial que impide que una m¨¢quina pueda ser inteligente, i. e., intuitiva). No podemos hablar de lo inefable, pero existir, existe.[1] Por eso Wittgenstein despotricaba tambi¨¦n de los positivistas. Quiz¨¢ ese fuera su ¨²nica coincidencia con G?del (junto con ciertas excentricidades neur¨®ticas).

Seg¨²n G?del en todo sistema formal habr¨¢ verdades que, aun siendo expresables dentro del mismo, no se pueden demostrar. Es decir, hay un conocimiento expresable que no se deja formalizar. Parece estar hablando de la l¨ªrica, o del poder cognitivo de ciertas met¨¢foras. Pero lo sorprendente es que ese ¡°pensamiento del afuera¡±, ese desbordamiento de los l¨ªmites, es inherente tambi¨¦n al pensamiento matem¨¢tico. En una carta a su madre, fechada en 1963, G?del alude a dicha trascendencia: ¡°Era de esperar que tarde o temprano se utilizara mi demostraci¨®n en provecho de la religi¨®n, existen indudablemente motivos que lo justifican¡±.

G?del y la manipulaci¨®n maquinal de s¨ªmbolos

Las consecuencias del teorema de G?del van m¨¢s all¨¢ de la epistemolog¨ªa. Nos hablan de la naturaleza misma de la mente. G?del demostr¨® que los recursos de la intuici¨®n no se pod¨ªan eliminar de la l¨®gica matem¨¢tica. Que el infinito mismo, tan eficaz para desbaratar falacias, seguir¨ªa siendo el caballo de batalla, indomable, del matem¨¢tico. Y, lo m¨¢s decisivo, que esas intuiciones no pueden sustituirse por los procesos mec¨¢nicos carentes de significado de la manipulaci¨®n maquinal de s¨ªmbolos. Se invalidad as¨ª las teor¨ªas reduccionistas de la mente (la idea de una ¡°mente-m¨¢quina¡±, que fascin¨® a Turing y a John von Neumann). Sin la experiencia del cuerpo vivo, las intuiciones de la m¨¢quina ser¨¢n siempre deficitarias.

Hilbert hab¨ªa intentado desterrar las intuiciones de las matem¨¢ticas. G?del mostraba que ¨¦stas no podr¨ªan avanzar sin ellas. La estrategia de limitarnos a consideraciones sint¨¢cticas formales ni siquiera garantiza la coherencia. ?Qu¨¦ son entonces esas intuiciones que no pueden formalizarse ni eliminarse? ?Hay algo eterno en el sujeto que quiere conocer? Un fil¨®sofo de Oxford, John Lucas, afirm¨® que el teorema de G?del demostraba que la visi¨®n mecanicista era falsa, como tambi¨¦n har¨ªa, simult¨¢neamente, la teor¨ªa cu¨¢ntica. No se puede explicar la mente como si fuera una m¨¢quina sencillamente porque la m¨¢quina funciona con las reglas integradas de un sistema formal y, cuando le pidamos proposiciones verdaderas, s¨®lo podr¨¢ hacerlo de acuerdo a las reglas de dicho sistema. Siempre habr¨¢ proposiciones que escapen a su noci¨®n de verdad. Una proposici¨®n, que nuestra mente podr¨ªa identificar como verdadera, ser¨¢ irreconocible para la m¨¢quina. La m¨¢quina no puede ser entonces un modelo adecuado para la mente. Un modelo mec¨¢nico de la mente es un modelo muerto. Y la mente es algo esencialmente vivo. Precisamente porque hay cosas fuera del texto, que permiten ampliarlo con met¨¢foras e intuiciones. La mente viva siempre ir¨¢ un paso por delante de cualquier sistema formal.

Los teoremas de incompletitud certifican la falsedad del mecanicismo, su reduccionismo inasumible y los intentos de explicar la inteligencia humana de un modo mec¨¢nico. ¡°Sus resultados demuestran que la comprensi¨®n y perspicacia humanas no pueden reducirse a ning¨²n c¨®digo de reglas. Hay m¨¢s cosas en el pensamiento humano de las que jam¨¢s pueda llegar a poseer un ordenador¡± (Roger Penrose). La mente es mucho m¨¢s que una m¨¢quina. Una idea que abre la puerta a un tipo de ciencia radicalmente nuevo.

El derrumbe final

La mente de G?del, como la de tantos otros matem¨¢ticos y l¨®gicos geniales, acab¨® por desmoronarse. Hab¨ªa sido un ni?o delicado y de adulto su fragilidad ps¨ªquica se hizo m¨¢s evidente. Seguramente, los delirios paranoicos del final de su vida no pueden disociarse de su trabajo como l¨®gico. La paranoia no es el abandono de la raz¨®n, sino m¨¢s bien una racionalidad desbocada. Un paranoico es una persona irracionalmente racional, que lleva la l¨®gica m¨¢s all¨¢ de sus l¨ªmites razonables. G?del hab¨ªa establecido una limitaci¨®n para la l¨®gica, que la hac¨ªa subsidiaria de la intuici¨®n, pero el equilibrio entre l¨®gica e intuici¨®n nunca lleg¨® ser constante en una vida (que como la de todo l¨®gico) se decanta en exceso hacia las abstracciones. Einstein, mucho m¨¢s imaginativo y aterrizado, supo protegerse contra esa amenaza.

William James dec¨ªa que s¨®lo desde ciertos ¨¢ngulos oscuros de la psique pueden verse algunas verdades nunca antes advertidas. En el caso de G?del esta afirmaci¨®n se cumple con creces. Las an¨¦cdotas sobre su vida en Princeton son numerosas. G?del viv¨ªa en el 145 de Linden Lane, una calle sin ¨¢rboles de un barrio modesto, en una compacta casa de madera cubierta de tejas rojas. Conversaba a diario con Einstein, caminando de regreso a casa. Einstein lleg¨® a decir que s¨®lo iba al Instituto de Estudios Avanzados por el placer de las conversaciones con G?del. Su amistad se consolid¨® en sus ¨²ltimos a?os. G?del encontr¨® una soluci¨®n a las teor¨ªas de campo de la relatividad general. En su modelo, el tiempo es c¨ªclico y el cambio una ilusi¨®n. Y era posible viajar al pasado. Esos bucles temporales llenaron de inquietud a Einstein. Richard Rorty se lo encontr¨® en un supermercado del barrio, empujando su carrito en el pasillo de los congelados. Qued¨® en estado de shock. Parec¨ªa un espectro. Hac¨ªa vida de ermita?o y apenas com¨ªa. El registro de pr¨¦stamo de la biblioteca Firestone certifica que todos los libros relacionados con Leibniz los hab¨ªa sacado un tal K. Goedel. G?del baraj¨® algunas de las versiones del argumento ontol¨®gico de Leibniz para demostrar a priori la existencia de Dios. Un alumno lo vio en cierta ocasi¨®n leyendo la poes¨ªa amorosa de Ovidio en lat¨ªn. Cuando inici¨® el proceso para hacerse ciudadano norteamericano, tuvo que estudiar la Constituci¨®n de los Estados Unidos. Advirti¨® y defecto de forma que podr¨ªa convertir al pa¨ªs en una tiran¨ªa. Trat¨® de hac¨¦rselo ver al juez, pero Einstein, que era sus padrinos, logr¨® desviar la conversaci¨®n.

G?del no se conformaba con cualquier tipo de exposici¨®n de sus ideas. Tem¨ªa ser injusto con ellas y se autoexig¨ªa una demostraci¨®n incontestable. Su obra publicada se limita a un centenar de p¨¢ginas. En privado nunca tuvo miedo de disentir de las ideas dominantes, pero, siendo como era seguidor de Plat¨®n y de Leibniz, no se equivocaba al sospechar que el clima intelectual era hostil a sus ideas. No extra?a pues que su obra no in¨¦dita sea extensa: mil p¨¢ginas taquigrafiadas y pasadas a limpio de notas filos¨®ficas; dos art¨ªculos acabados y listos para la imprenta; varios miles de p¨¢ginas de extractos literarios y filos¨®ficos; demostraciones pasadas a limpio de sus resultados cosmol¨®gicos; seiscientas p¨¢ginas de teor¨ªa de conjuntos y conjeturas l¨®gicas; y numerosas notas sobre intuicionismo y otros asuntos sobre los fundamentos de las matem¨¢ticas.

La paranoia de G?del se va acrecentando con los a?os. Apenas come y vive con el temor a ser envenenado. Adele, una exbailarina de cabaret de religi¨®n cat¨®lica con la que se hab¨ªa casado en Viena contra la voluntad de sus padres, tiene que catar la comida de su marido si no quiere que muera de inanici¨®n. En cierta ocasi¨®n, Hao Wang le llev¨® un pollo asado. El l¨®gico se neg¨® a abrirle la puerta. Se dice que pesaba menos de 30 kilos en el momento de su muerte. Seg¨²n el parte m¨¦dico, muri¨® de desnutrici¨®n provocada por la perturbaci¨®n mental.

En sus ¨²ltimas cartas a Hilary Putnam, G?del habla de la intuici¨®n matem¨¢tica como un tipo de percepci¨®n, tan leg¨ªtima como la percepci¨®n sensorial que erige las teor¨ªas de la f¨ªsica. ¡°Las paradojas de la teor¨ªa de conjuntos no son en modo algunos m¨¢s problem¨¢ticas para las matem¨¢ticas que las ilusiones de los sentidos para la f¨ªsica¡±. Confes¨® a Hao Wang que estuvo buscando una epifan¨ªa que le permitiera ver el mundo con otros ojos. Fracas¨®. No tuvo la fortuna de recibir esa gracia, que cre¨ªa hab¨ªan recibido Plat¨®n, Descartes y Husserl. Pero su legado, hoy d¨ªa que confundimos los algoritmos mecanizados con la inteligencia, est¨¢ m¨¢s vivo que nunca.

[1] Hay un modo de conciliar el empirismo radical (no en su versi¨®n positivista, sino en la l¨ªnea de William James) y la experiencia de lo inefable, pero no es este el lugar para desarrollar esta idea.

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