El teorema de Varignon

La demostraci¨®n del teorema de Viviani, del que habl¨¢bamos la semana pasada en relaci¨®n con el punto de Fermat/Torricelli, es tan sencilla como elegante:

Sea el tri¨¢ngulo equil¨¢tero ABC de lado unidad y en su interior un punto cualquiera P. Uniendo P con los tres v¨¦rtices del tri¨¢ngulo y llamando m, n y l a sus distancias a los tres lados, obtenemos los tri¨¢ngulos PAB, PAC y PBC, cuyas ¨¢reas son, respectivamente, m/2, n/2 y l/2, cuya suma es el ¨¢rea de ABC, que, por otra parte, llamando h a la altura del tri¨¢ngulo, es h/2; por lo tanto, h = m + n + l.

El paralelo de Varignon

Con respecto al teorema de Varignon, he aqu¨ª una demostraci¨®n ¡°en una l¨ªnea¡± que vi hace unos a?os en la excelente p¨¢gina web Gaussianos:

Sea el cuadril¨¢tero ABCD y E, F, G, H los puntos medios de sus lados, que determinan el cuadril¨¢tero EFGH.

Si consideramos que todos los segmentos son vectores (imaginad las flechitas encima de cada par de letras), he aqu¨ª la demostraci¨®n en una l¨ªnea:

HG = HD + DG = 1/2 (AD + DC) = 1/2 AC = EF

Y del mismo modo se demuestra que HE = GF, luego el cuadril¨¢tero EFGH es un paralelogramo, como quer¨ªamos demostrar.

Nuestro comentarista habitual Francisco Montesinos viene a decir lo mismo: ¡°Sea ABCD un cuadril¨¢tero. El p.m. (punto medio) del segmento AB es (A+B)/2 y el p.m. del segmento AD es (A+D)/2 y el vector diferencia de ambos es (B-D)/2, que es el mismo vector que se obtiene restando los puntos medios de CB y CD. De igual forma se demuestra que los otros dos lados que unen los p.m. correspondientes son tambi¨¦n paralelos¡±.

Y, en realidad, estas ingeniosas demostraciones a¨²n se pueden abreviar un poco m¨¢s, y sin otros recursos que los de la geometr¨ªa m¨¢s elemental. ?C¨®mo?

Otra propiedad del paralelogramo de Varignon es que su ¨¢rea es la mitad que la del cuadril¨¢tero inicial (siempre que sea convexo o c¨®ncavo, sin intersecciones). Y, adem¨¢s, el per¨ªmetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadril¨¢tero inicial. ?Puedes demostrarlo?

Geometr¨ªa y papiroflexia

De la primera entrega del a?o ha quedado pendiente un bonito ¡°cl¨¢sico¡± que no me resigno a que pase inadvertido: ?Puedes dividir un cuadrado en 5 cuadrados iguales sin m¨¢s ayuda que la de una regla? Y si recurres a la papiroflexia, ni siquiera es necesaria la regla.

Y hablando de papiroflexia, ?c¨®mo se puede dividir una hoja de papel cuadrada en tres partes iguales, sin regla ni comp¨¢s, solo mediante los dobleces adecuados?

Para este y otros problemas papirofl¨¦xicos, es interesante conocer el primer teorema de Haga, que dice:

Sea un cuadrado de v¨¦rtices A, B, C, D. Si se pliega el cuadrado sobre s¨ª mismo llevando el v¨¦rtice A al punto medio del lado BC, entonces el lado AD cortar¨¢ al lado CD en un punto G tal que la distancia entre C y G es igual a las dos terceras partes del lado del cuadrado.

El teorema recibe su nombre del matem¨¢tico japon¨¦s Kazuo Haga, conocido sobre todo por sus minuciosos estudios geom¨¦tricos sobre papiroflexia, recogidos en parte en su libro Origamics.

Y hablando de papiroflexia, ?sabr¨ªas dibujar una pajarita de papel? No parece un problema de matem¨¢ticas ni de l¨®gica, sino una prueba de memoria visual, y sin embargo¡­