Una escurridiza bola negra

Los tres acertijos de la semana pasada pueden resolverse sin c¨¢lculos. Aunque pueda parecer que el primero de ellos requiere una ecuaci¨®n o dos, basta con darse cuenta de que, si en el viaje de ida la media fue de 50 kil¨®metros por hora, por muy deprisa que vaya el coche en el viaje de vuelta no podr¨¢ subir la media a 100 km/h, puesto que con esa media habr¨ªa realizado el trayecto de ida y vuelta en el mismo tiempo en que ha realizado la ida a 50 km/h, as¨ª que tendr¨ªa que cubrir el trayecto de vuelta a una velocidad infinita para que la media subiera a 100 km/h.

En cuanto al viajero silencioso, pone sobre el mostrador cinco monedas de 20 c¨¦ntimos; si quisiera el billete de ida, solo habr¨ªa puesto cuatro monedas de 20. Obviamente, la soluci¨®n no es ¨²nica; tambi¨¦n podr¨ªa haber puesto, por ejemplo, una moneda de 50 c¨¦ntimos, dos de 20 y una de 10. ?De cu¨¢ntas maneras distintas podr¨ªa haber pagado su billete de ida y vuelta el viajero mudo?

El tercero de los acertijos es una peque?a broma astron¨®mica: Venus tarda 243 d¨ªas en completar una rotaci¨®n alrededor de su eje y 224,7 d¨ªas en dar una vuelta alrededor del Sol, por lo que el d¨ªa venusiano es m¨¢s largo que su a?o. ?Qu¨¦ efecto tendr¨ªa esta ins¨®lita relaci¨®n entre la rotaci¨®n y la traslaci¨®n en la percepci¨®n de los d¨ªas y las noches de un hipot¨¦tico habitante de Venus?

Con respecto a los n¨²meros de tel¨¦fono capic¨²a, nuestro ¡°usuario destacado¡± Salva Fuster comenta:

¡°La proporci¨®n de capic¨²as se mantiene pr¨¢cticamente intacta, ya sea con 50.000 fijos o con 1.000.000, pues los capic¨²as se distribuyen de manera uniforme (equiespaciada). Ahora bien, si la longitud de los n¨²meros de tel¨¦fono no es la misma, no en todo el mundo tendremos la misma proporci¨®n de capic¨²as (supongo que en pa¨ªses de m¨¢s de 1.000.000.000 tendr¨¢n n¨²meros de m¨¢s de nueve cifras). A mayor longitud, menor proporci¨®n de capic¨²as, aunque teniendo en cuenta que hay cambio en la proporci¨®n si pasamos de una longitud impar a la siguiente par, pero no de una par a la siguiente impar¡±.

?Y qu¨¦ pasa con los n¨²meros de tel¨¦fono de menos de nueve cifras?

Una bolsa de canicas

Otro ¡°usuario destacado¡±, Luca Tanganelli, propuso un problema del que ofrezco una variante simplificada:

En una bolsa de canicas hay nueve blancas y una negra. Sacamos una canica y la volvemos a meter en la bolsa, y repetimos esta operaci¨®n diez veces. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que al menos una vez hayamos sacado la canica negra? ?Y la probabilidad de no sacar la negra ninguna vez? ?Y la de sacar la negra solo una de las veces? ?Y la de sacar la canica negra solo la primera vez?

Es interesante ver lo que pasa si vamos aumentando el n¨²mero de canicas y el n¨²mero de extracciones, siempre con una sola canica negra (hasta el infinito y m¨¢s all¨¢). Tan interesante que merece un art¨ªculo aparte.

Los problemas de bolas blancas y negras en bolsas o cajas pueden ser muy escurridizos y hacer que, al intentar aferrarlos, nos patinen las neuronas. He aqu¨ª un cl¨¢sico que merece ser recordado:

Tenemos tres cajas en las que hay, respectivamente, dos bolas blancas, dos bolas negras y una de cada color. Sacamos una bola de una de las cajas y resulta que es negra. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que la otra bola de la misma caja tambi¨¦n sea negra?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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