Viajes de ida y vuelta

En el inquietante relato de Dino Buzzati Los siete mensajeros, en el que nos centramos la semana pasada, la expedici¨®n avanza 40 leguas diarias, mientras que los mensajeros, en sus viajes de ida y vuelta, recorren 60 leguas al d¨ªa. Al cabo de n d¨ªas, la expedici¨®n habr¨¢ recorrido 40n leguas, y si un mensajero que parte en ese momento tarda x d¨ªas en ir y volver, en ese tiempo habr¨¢ recorrido dos veces las 40n leguas (a la ida y a la vuelta) m¨¢s las avanzadas por la expedici¨®n en esos x d¨ªas, o sea:

60x = 40n + 40n + 40x

20x = 80n

x = 4n

?Es correcta esta conclusi¨®n? El pr¨ªncipe protagonista del relato dice que ¡°bastaba con multiplicar por cinco los d¨ªas empleados hasta el momento para saber cu¨¢ndo nos alcanzar¨ªa el mensajero¡±. ?En qu¨¦ quedamos, hay que multiplicar por 4 o por 5 los d¨ªas transcurridos desde el comienzo de la expedici¨®n para saber cu¨¢ndo regresar¨¢ el mensajero?

No hay fallo, solo un peque?o equ¨ªvoco: el mensajero tarda 4n d¨ªas en ir y volver, pero el pr¨ªncipe mide el tiempo transcurrido desde el inicio de la expedici¨®n (n d¨ªas antes) hasta la llegada del mensajero de regreso en el campamento: 4n + n = 5n.

En cuanto a los n¨²meros de tel¨¦fono capic¨²a, en Girona, donde todos los n¨²meros empiezan por 972, ser¨¢n de la forma 972aba279, donde a y b pueden ser cualquiera de los diez d¨ªgitos, del 0 al 9, por lo que habr¨¢ 10 x 10 = 100 posibles capic¨²as entre un mill¨®n de n¨²meros posibles (del 972000000 al 972999999), por lo que la probabilidad es de 100/1000000, o sea, del 0,01%.

De hecho, en Girona hay unos 100.000 habitantes, por lo que los tel¨¦fonos fijos son muchos menos del mill¨®n de n¨²meros distintos posibles (supongamos que son 50.000). ?De qu¨¦ manera afecta esto a la probabilidad real de que un n¨²mero de tel¨¦fono de Girona sea capic¨²a?

En el caso de Barcelona, los n¨²meros de tel¨¦fono empiezan por 93, por lo que los capic¨²as ser¨¢n de la forma 93abcba39, donde a, b y c pueden ser cualquier d¨ªgito, por lo que habr¨¢ 10 x 10 x 10 = 1000 capic¨²as posibles; pero ahora los n¨²meros hipot¨¦ticamente posibles son diez millones (del 910000000 al 919999999), por lo que la proporci¨®n es la misma. Los capic¨²as telef¨®nicos se distribuyen de forma homog¨¦nea por todo el Estado espa?ol. ?Por todo el mundo, tal vez?

Viajes problem¨¢ticos

Los viajes de ida y vuelta, como los de los mensajeros de Buzzati, son un tema recurrente de los problemas matem¨¢ticos y los acertijos de ingenio. Recordemos tres cl¨¢sicos del g¨¦nero:

En su viaje de ida, un coche va a la velocidad constante de 50 kil¨®metros por hora. ?Cu¨¢l ha de ser su velocidad en el viaje de vuelta para que la media de ambos viajes sea de 100 km/h?

El billete de ida, en un trayecto de cercan¨ªas, vale 70 c¨¦ntimos, y el de ida y vuelta vale un euro. Sin decir nada, un viajero pone un euro sobre el mostrador de la taquilla y el empleado le da un billete de ida y vuelta. ?C¨®mo sabe que no quiere el de ida?

La NASA te propone un viaje de ida y vuelta a Venus. Puedes optar entre quedarte un d¨ªa en el inh¨®spito planeta vecino, o un a?o. En el primer caso, obtendr¨¢s una recompensa de un mill¨®n de d¨®lares; en el segundo caso, la recompensa ser¨¢ de diez millones. ?Qu¨¦ eliges?

Y hablando de cl¨¢sicos, no se puede dejar de recordar el problema de los caminantes y la colina de Lewis Carroll, mencionado en una de las primeras entregas de esta secci¨®n (ver Un fil¨®sofo de ida y vuelta).

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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