Tres joyas matem¨¢ticas de Joseph Bertrand

Joseph Louis Fran?ois Bertrand (1822-1900), durante muchos a?os miembro y secretario de la prestigiosa Academia de Ciencias de Par¨ªs, no es de esos matem¨¢ticos que se inmortalizan en gran formato para adornar las paredes de facultades y departamentos y es inusual que sus colegas matem¨¢ticos actuales conozcamos retazos de su biograf¨ªa. Sin embargo, su nombre est¨¢ ligado a algunos enunciados bien conocidos por los profesionales, uno de ellos, incluso, por un p¨²blico amplio. Es el postulado de Bertrand que afirma que entre un n¨²mero y su doble siempre hay al menos un primo. Por ejemplo, entre 2023 y 4046 est¨¢ el 2027 y otros muchos.

Bertrand enunci¨® su conjetura en 1845 en un trabajo sobre simetr¨ªas de funciones, dentro de lo que hoy llamar¨ªamos teor¨ªa de grupos. Pafnuty Chebyshev la demostr¨® siete a?os despu¨¦s y, es m¨¢s, prob¨® que la cantidad de primos entre un n¨²mero arbitrariamente grande y su doble aumenta sin l¨ªmite. Por ejemplo, entre 100 y 200 solo hay 21 primos y entre 1000 y 2000 ya hay 135. La prueba de Chebyshev, un poco complicada, fue simplificada magistralmente en 1932 por el singular matem¨¢tico Paul Erd?s. Un punto fundamental en su demostraci¨®n es el hecho de que el producto de los n primeros n¨²meros divide siempre a los n siguientes. Por ejemplo, 1¡¤2¡¤3¡¤4=24 divide a 5¡¤6¡¤7¡¤8=1680. Por tanto, los primos entre n y 2n siempre aparecer¨¢n como factores en el cociente. Tambi¨¦n Srinivasa Ramanujan dio una prueba del postulado de Bertrand, aunque es menos elemental y elegante que la de Erd?s.

Nuestros conocimientos actuales sobre la distribuci¨®n de los n¨²meros primos permiten ir mucho m¨¢s all¨¢. Si consideramos un n¨²mero real ¦Á mayor que 1 y menor que dos, a partir de cierto n¨²mero n sabemos que entre n y ¦Án siempre habr¨¢ un primo. Por ejemplo, para ¦Á = 1.00025 no hay primos entre 80000 y 80020 = 80000¦Á, pero se puede asegurar que los habr¨¢ entre n y ¦Án para n mayor que 400000. Por otro lado, los recientes avances debidos a James Maynard, que le han valido la medalla Fields de 2022, implican que es posible encontrar espor¨¢dicamente muchos primos acumulados en intervalos realmente peque?os.

Otra curiosa contribuci¨®n de Bertrand es la conocida como paradoja de Bertrand, una simple y bella paradoja probabilista que parece desafiar el poder de las matem¨¢ticas para proporcionar soluciones sin ambig¨¹edad. Consideramos un tri¨¢ngulo equil¨¢tero, apuntando hacia arriba, y su circunferencia circunscrita (la que pasa por sus tres v¨¦rtices). El problema consiste en hallar la probabilidad de que una cuerda (un segmento que une dos puntos de la circunferencia) escogida al azar sea m¨¢s larga que el lado del tri¨¢ngulo.

Una soluci¨®n consiste en razonar diciendo que la cuerda siempre se pod¨ªa girar para que partiese del v¨¦rtice superior. El tri¨¢ngulo divide a la circunferencia en tres arcos similares de 120¡ã y que la cuerda sea mayor que el lado equivale a que termine en el arco bajo la base, por tanto, la probabilidad buscada es ?. Otra soluci¨®n se obtiene si giramos la cuerda hasta situarla bajo el centro y paralela a la base. Ser¨¢ m¨¢s larga que la base, justo cuando corte a la mitad superior del radio perpendicular a ella, lo que conduce al resultado ?.

Bertrand obtuvo una tercera soluci¨®n en su trabajo y hay otras. Escapar de esta paradoja pasa por entender que es necesario precisar matem¨¢ticamente qu¨¦ significa ¡°al azar¡± cuando se formula el problema, porque hay infinidad de formas de hacerlo. En 1933, Andr¨¦i Kolmog¨®rov sent¨® las bases de la teor¨ªa de probabilidad moderna estableciendo unos axiomas, unos requisitos m¨ªnimos, que deben satisfacer todos los modelos de probabilidad sea cual sea la situaci¨®n en que se apliquen. Las diferentes soluciones en la paradoja corresponden a sendos modelos.

Por ¨²ltimo, Bertrand tambi¨¦n tiene un teorema con su nombre. Todos sabemos que la fuerza de la gravedad es atractiva e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Mediante compleja magia matem¨¢tica, esto implica que un planeta siempre gira alrededor de un sol masivo siguiendo una ¨®rbita el¨ªptica (es la primera ley de Kepler). La elipse es recorrida de manera no uniforme, el planeta avanza m¨¢s r¨¢pido cuanto m¨¢s cerca est¨¢ de su sol situado en uno de los focos; sin embargo, el movimiento es peri¨®dico: en un tiempo constante, un a?o en el caso de la Tierra, se vuelve al punto de partida y se repite el movimiento, lo que propicia una precisi¨®n de relojero en el estudio del Sistema Solar, sobre todo al incorporar correcciones debidas a perturbaciones mutuas.

Supongamos que en un hipot¨¦tico universo los soles atraen a los planetas con una fuerza de la gravedad diferente de la habitual, ?es todav¨ªa posible que todas las ¨®rbitas planetarias sean peri¨®dicas? El teorema de Bertrand da una respuesta completa: lo son cuando son elipses y esto ocurre ¨²nicamente cuando la fuerza gravitatoria es la habitual o proporcional a la distancia, el tipo de fuerza que aparece al estirar un muelle (ley de Hooke). Curiosamente, Isaac Newton ya consider¨® en sus Principia esta segunda posibilidad. Mostr¨® que corresponde a que el sol est¨¦ en el centro de la elipse, en vez de en un foco.

Si enso?amos otro tipo de fuerza gravitatoria atractiva que solo dependa de la distancia, por ejemplo, inversamente proporcional a ella, el teorema de Bertrand asegura que las ¨®rbitas no van a ser en general peri¨®dicas. En realidad, la relatividad general proporciona una modificaci¨®n efectiva de la gravitaci¨®n original que contribuye a la precesi¨®n del perihelio de Mercurio.

Sirvan estos tres bellos enunciados asociados a Bertrand para recordar, con un a?o de retraso, el bicentenario del nacimiento, un 11 de marzo, de un matem¨¢tico no tan conocido, pero que ostenta el singular honor de unir su nombre a un postulado, una paradoja y un teorema.

Fernando Chamizo es profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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