Infinito, la fuente de paradojas matem¨¢ticas

En su libro Historia de Infinito, Jos¨¦ A. Prado-Bassas, investigador de la Universidad de Sevilla y divulgador, presenta el desarrollo del concepto matem¨¢tico como una lucha ¨¦pica a lo largo de los siglos. Comienza el texto con una advertencia ¡°La locura del infinito es un estado del alma que, una vez que te hechiza, nunca te abandonar¨¢¡±. Este rasgo amenazador de la inmensidad hizo que los matem¨¢ticos la rehuyeran durante siglos. Incluso en el siglo XX todav¨ªa hab¨ªa investigadores de gran reputaci¨®n que negaban su existencia.

La primera referencia al infinito la encontramos en la explicaci¨®n del origen del universo de Anaximandro de Mileto (611-546 a. C.). El apeiron es el todo, lo ilimitado, y da origen a nuestro universo. Unos a?os despu¨¦s, Zen¨®n de Elea plante¨® el primer problema derivado del infinito: la famosa paradoja de Aquiles y la tortuga. Seg¨²n esta, Aquiles se enfrenta con una tortuga en una carrera. Al empezar, la tortuga parte de cierta ventaja; al paso del tiempo, cuando Aquiles ha alcanzado el punto inicial de la tortuga, esta se ha movido un poco, as¨ª que sigue por delante. Cuando llega a este segundo punto, la tortuga de nuevo ha avanzado, y va ganando. As¨ª pasa siempre: cuando Aquiles llega al punto en el que estaba la tortuga, esta ya se ha movido y, por tanto, nunca la alcanza. En ese momento era impensable pensar que se podr¨ªa dividir infinitamente un periodo de tiempo finito. O, lo que es lo mismo, que una serie infinita tomara un valor finito.

Este tipo de incomodidad fue la que seguramente llev¨® a Arist¨®teles (384-322 a. C.) a atenuar la idea de infinito. Propone un infinito potencial, es decir, una cantidad que es finita en cada momento, pero ilimitada, ya que puede aumentar indefinidamente. Y rechaza el infinito actual, un infinito que lo es en todo momento, como el conjunto de los n¨²meros naturales. Para ello, se basa en uno de los axiomas del pensamiento griego: el todo es mayor que cualquiera de sus partes. Un conjunto infinito incumplir¨ªa esta propiedad: al dividirlo en partes, al menos alguna de ellas seguir¨¢ siendo infinita.

La influencia de Arist¨®teles se alarg¨® durante siglos y est¨¢ presente en el tratado ¡®Elementos¡¯ de Euclides. El sabio griego evit¨® el uso de la palabra infinito en sus demostraciones y su concepci¨®n era la misma que la de Arist¨®teles: algo ilimitado, pero finito en cada momento.

Habitualmente es como se suele imaginar el infinito: como algo enorme, sin l¨ªmites. Pero el infinito tambi¨¦n est¨¢ presente en el otro extremo, el de lo infinit¨¦simo, lo m¨¢s peque?o que cualquier otra cantidad. Y fue en este contexto donde lleg¨® la revoluci¨®n de lo infinito. El primero en pensar en estos t¨¦rminos fue Arqu¨ªmedes, que propuso el llamado m¨¦todo de exhausci¨®n para calcular el ¨¢rea encerrada en una par¨¢bola, el ¨¢rea de la esfera y tambi¨¦n para aproximar el n¨²mero Pi y que es predecesora del c¨¢lculo diferencial, propuesto por Newton y Leibniz siglos despu¨¦s.

El libro de Prado-Bassas concluye con un cap¨ªtulo dedicado al concepto de biyecci¨®n: una herramienta matem¨¢tica que permite establecer una correlaci¨®n entre dos conjuntos y, as¨ª, compararlos. El matem¨¢tico Georg Cantor la us¨® para clasificar los conjuntos infinitos, ya que, como demostr¨®, exist¨ªan en diferentes tama?os. Tambi¨¦n a trav¨¦s de las biyecciones Richard Dedekind (1831-1916) sugiri¨®, unos a?os antes, la primera definici¨®n abstracta del infinito, que no recurr¨ªa a una comparaci¨®n con los n¨²meros naturales: es aquel conjunto en el que alguna de sus partes tiene el mismo tama?o que el total, es decir, se puede definir una biyecci¨®n entre ellos. De esta manera sucede, por ejemplo, entre el conjunto de los n¨²meros naturales y el de los n¨²meros pares, que es una parte del primero. Podemos asignar a cada n¨²mero natural su doble, que ser¨¢ un n¨²mero par, y a cada par su mitad, que es un n¨²mero natural.

Por tanto, los conjuntos infinitos son, precisamente, los que contradicen el axioma griego de que el todo es mayor que sus partes, lo que genera, para tormento de matem¨¢ticos, numerosas paradojas. As¨ª lo afirma el matem¨¢tico y fil¨®sofo Bernard Bolzano (1781-1848): ¡°la mayor¨ªa de los enunciados parad¨®jicos que se encuentran en el dominio de las matem¨¢ticas son proposiciones que contienen inmediatamente la idea del infinito¡±.

?gata Tim¨®n G Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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