Ren¨¦ Thom, el matem¨¢tico que prefer¨ªa la comprensi¨®n al rigor

En mayo de 1940, mientras Alemania invad¨ªa Francia, Ren¨¦ Thom, de 16 a?os, terminaba bachillerato en Montbeliard, su pueblo natal. Seis a?os despu¨¦s ¨Ctras haber terminado su carrera en la prestigiosa Escuela Normal Superior, donde le rechazaron en su primer intento de entrar¨C, cursaba un doctorado en matem¨¢ticas en la Universidad de Estrasburgo. All¨ª conoci¨® a varios miembros del grupo Bourbaki, entonces inmersos en su tarea de reescritura de las matem¨¢ticas modernas. Y tambi¨¦n all¨ª comenz¨® sus trabajos en geometr¨ªa que le llevar¨ªan a ganar la medalla Fields una d¨¦cada despu¨¦s.

Su trabajo permiti¨® clasificar, de forma efectiva, los distintos tipos de formas geom¨¦tricas que existen. Podemos explicar la clasificaci¨®n en matem¨¢ticas por analog¨ªa, tal y como har¨ªa el propio Thom, con la clasificaci¨®n taxon¨®mica en biolog¨ªa. Cada forma geom¨¦trica, al igual que cada animal, pertenece a una especie, y estas se agrupan en g¨¦neros, que a su vez se agrupan en familias. M¨¢s arriba tenemos el orden, el filo, la clase y el reino. En biolog¨ªa, para realizar esta clasificaci¨®n, se identifican ciertos caracteres ¨Ccomo el pelo o las escamas¨C que luego usan para distinguir a los animales de distintos grupos. En matem¨¢ticas, se trata de hacer algo parecido.

En el a?o 1854 Bernhard Riemann defini¨® con cierto rigor el concepto de especie en el contexto de la geometr¨ªa, que hoy llamamos ¡°variedad riemanniana¡±. Durante los siguientes 100 a?os, varios matem¨¢ticos descubrieron ciertos caracteres geom¨¦tricos que permit¨ªan distinguir distintas especies. Por ejemplo, la caracter¨ªstica de Euler o los n¨²meros de Betti.

Asimismo, se introdujeron otros conceptos geom¨¦tricos an¨¢logos al de g¨¦nero o al de familia. No obstante, del mismo modo que estamos muy lejos de conocer todas las especies o g¨¦neros biol¨®gicos que hay sobre la tierra, no era esperable conocer todas las especies o g¨¦neros geom¨¦tricos; hab¨ªa demasiados. Todo cambi¨® cuando, a principios de los a?os 1950, Ren¨¦ Thom introdujo una clasificaci¨®n an¨¢loga a la de reino, mucho m¨¢s arriba en la jerarqu¨ªa taxon¨®mica.

Thom estableci¨® que dos formas geom¨¦tricas estaban en el mismo reino geom¨¦trico si se pod¨ªa transformar una en la otra usando un cierto tipo de proceso. Por ejemplo, cuando una c¨¦lula se subdivide, su membrana celular comienza teniendo la forma de una esfera, pero tras la subdivisi¨®n, pasa a tener la forma de dos esferas. El proceso geom¨¦trico por el que la primera esfera se convierte en las otras dos se llama cobordismo y mantiene los objetos en el mismo reino. La figura del toro tambi¨¦n est¨¢ en el mismo reino que la figura de la esfera, aunque el proceso geom¨¦trico que se ha de usar es distinto al mencionado.

No contento con eso, Thom encontr¨® y clasific¨® todos los posibles reinos geom¨¦tricos. Esta haza?a, sin precedentes en la historia de la geometr¨ªa, dio pie a una revoluci¨®n que aun contin¨²a. Tal fue el impacto, que en las siguientes tres ediciones de la medalla Fields siempre gan¨® alg¨²n ge¨®metra cuyo trabajo parti¨® de la nueva clasificaci¨®n de Thom: John Milnor (en 1962), Stephen Smale (1966) y Sergei Novikov (1970).

Poco despu¨¦s de obtener la medalla Fields, Thom obtuvo una posici¨®n permanente en el Institut des Hautes ?tudes Scientifiques franc¨¦s, donde cre¨® una nueva base matem¨¢tica para la biolog¨ªa o la semi¨®tica: la teor¨ªa de las cat¨¢strofes. Con ella, pretend¨ªa abordar procesos en los que se rompe la continuidad, como sucede durante el desarrollo de un embri¨®n.

En su autobiograf¨ªa, Thom vincula su cambio radical de tema de investigaci¨®n con su encuentro con el matem¨¢tico Alexandre Grothendieck: ¡°Su superioridad t¨¦cnica era apabullante. Su seminario atrajo a todos los matem¨¢ticos de Par¨ªs, mientras que yo no ten¨ªa nada nuevo que ofrecer. Eso me hizo abandonar el mundo de las matem¨¢ticas puras y abordar nociones m¨¢s generales, como la teor¨ªa de la morfog¨¦nesis, un asunto que me interesaba m¨¢s y me condujo a una forma muy general de biolog¨ªa filos¨®fica¡±.

Su punto de vista filos¨®fico, continuador de Her¨¢clito y Arist¨®teles, consideraba que la obsesi¨®n por la exactitud era un obst¨¢culo para el entendimiento. ¡°Si debo elegir entre rigor y comprensi¨®n, escojo sin duda lo ¨²ltimo¡±, afirmaba. Prefer¨ªa las explicaciones cualitativas a las cuantitativas y era muy cr¨ªtico con las matem¨¢ticas modernas ¨Cpromovidas, especialmente, por sus antiguos colegas de Bourbaki¨C, que, desde su punto de vista, s¨®lo reconoc¨ªan el ¨¢lgebra como fuente de rigor ¨Cmientras que Thom prefer¨ªa la geometr¨ªa¨C.

Parad¨®jicamente, la mayor aportaci¨®n de Thom ¨Csu clasificaci¨®n de formas geom¨¦tricas¨C contribuy¨® a reducir la geometr¨ªa al ¨¢lgebra, tal y como observa ¨¢cidamente el matem¨¢tico franc¨¦s y cofundador de Bourbaki, Jean Dieudonn¨¦, en una carta abierta a Thom en 1972: ¡°Resulta ir¨®nico que Thom, que claramente siente aversi¨®n al ¨¢lgebra, ser¨¢ recordado por su manera original de usarla en su teor¨ªa del cobordismo¡±.

Federico Cantero Mor¨¢n es profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aqu¨ª para recibir nuestra newsletter semanal.