La pintura renacentista que cre¨® una nueva geometr¨ªa

Alberto Durero, nacido en Nuremberg un 21 de mayo de 1471, est¨¢ universalmente considerado como uno de los grandes pintores pioneros del Renacimiento ¡ªcomo Giotto, Piero de la Francesca o Alberdi¡ª, que desarrollaron una nueva manera de pintar basada en la perspectiva, o ¡°construzione legittima¡±, seg¨²n la denominaron. Para entender por qu¨¦ funcionaba tan bien esta nueva forma de representar la realidad fue necesario crear una nueva geometr¨ªa.

Hijo de un destacado orfebre, Durero mostr¨®, ya de ni?o, una asombrosa disposici¨®n para el dibujo, que le permiti¨® ingresar como aprendiz en un prestigioso taller de grabados de Nuremberg. Siendo muy joven viaj¨® a Bolonia donde aprendi¨®, posiblemente del matem¨¢tico Luca Pacioli y del pintor y arquitecto Bramante, los principios de la perspectiva lineal.

Eran tiempos de grandes hallazgos, y los artistas italianos hab¨ªan puesto su atenci¨®n en las matem¨¢ticas y la anatom¨ªa para representar el espacio y las formas del cuerpo humano. Durero sosten¨ªa que la geometr¨ªa y las medidas precisas son la clave para comprender el arte cl¨¢sico. Entre sus publicaciones destacan Los cuatro libros de la medida y Los cuatro libros sobre las proporciones humanas, que contienen diversas construcciones de pol¨ªgonos regulares y poliedros, as¨ª como, seg¨²n all¨ª se afirma, los cuatro tipos diferentes de figuras femeninas y masculinas, cuyas dimensiones corporales est¨¢n expresadas como fracciones de la altura total.

Durero sosten¨ªa que la geometr¨ªa y las medidas precisas son la clave para comprender el arte cl¨¢sico; eran tiempos de grandes hallazgos, y los artistas italianos hab¨ªan puesto su atenci¨®n en las matem¨¢ticas y la anatom¨ªa

Las matem¨¢ticas est¨¢n muy presentes en su obra. Su grabado Melancol¨ªa I contiene un cuadrado m¨¢gico 4x4 en el que todos los n¨²meros entre 1 y 16 aparecen dispuestos de manera que las sumas de sus filas, columnas y diagonales es siempre 34.

Aunque Durero no hizo ning¨²n descubrimiento geom¨¦trico original, fue de los primeros en describir la perspectiva en t¨¦rminos de los Elementos de Euclides: la imagen pintada es una proyecci¨®n de la realidad en el lienzo, cuyo centro est¨¢ situado en el ojo del pintor. Todas las l¨ªneas de profundidad se encuentran en ese punto de vista y el cuadro es el resultado de la intersecci¨®n del plano del cuadro con el cono visual, formado por las l¨ªneas que unen el punto de vista con las figuras representadas.

En este enfoque, las paralelas, sea cual sea su orientaci¨®n, se unen en su punto de fuga ubicado en el horizonte, es decir, sobre la recta horizontal que pasa por el punto de intersecci¨®n con el cuadro de la perpendicular trazada desde el punto de vista.

El m¨¦todo de Durero y otros genios del Renacimiento fue posteriormente enriquecido a?adi¨¦ndole la perspectiva en la direcci¨®n vertical, o a¨¦rea

En este proceso pict¨®rico tanto las longitudes como los ¨¢ngulos sufren distorsiones, sin embargo, la escena original resulta siempre muy reconocible. Para explicarlo, grandes matem¨¢ticos como Girard Desargues y Blaise Pascal, primero, y Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet, despu¨¦s, crearon una nueva geometr¨ªa ¡ªla geometr¨ªa proyectiva¡ª, caracterizada precisamente porque, en ella, las rectas paralelas tienen un punto en com¨²n: el punto del infinito.

Desargues consider¨® un objeto matem¨¢tico muy sencillo, como es un tri¨¢ngulo, y se pregunt¨® qu¨¦ era suficiente para que dos tri¨¢ngulos estuvieran en perspectiva. Como respuesta dio un lindo teorema: ¡°La proyecci¨®n de un tri¨¢ngulo de v¨¦rtices ABC desde un punto de mira O es el tri¨¢ngulo A?B?C? si, y solo si, las rectas que contienen los lados correspondientes se cortan en puntos alineados¡±.

Que al prolongar los lados correspondientes AB y A?B? se corten en un punto P, AC y A?C? en Q, y BC y B?C¡¯ en R, es algo sencillo de ver, pero lo sorprendente es que los tres puntos P, Q y R yazcan en una misma l¨ªnea recta del espacio y que, adem¨¢s, eso sea raz¨®n suficiente para que los dos tri¨¢ngulos est¨¦n en perspectiva.

En los siguientes a?os, se desarroll¨® el m¨¦todo, obteniendo teoremas muy bellos e interesantes que han dado lugar a la geometr¨ªa proyectiva. En las proyectividades, las rectas se transforman en rectas, pero, en general, las distancias y los ¨¢ngulos no se conservan. Ocurre, no obstante, que s¨ª se mantiene la llamada raz¨®n doble de cuatro puntos alineados: (A, B, C, D) = (CA/CB)/(DA/DB). De manera que si tenemos otra cuaterna de puntos situados en una misma recta A?, B?, C?, D?, y queremos saber si estos ¨²ltimos pueden ser la imagen de los primeros por una proyectividad, basta con comprobar que dos n¨²meros coinciden, a saber, que tienen la misma raz¨®n doble.

Los matem¨¢ticos trataron de encontrar otros invariantes proyectivos, como la raz¨®n doble, lo que llev¨®, siglos m¨¢s tarde, a la formulaci¨®n abstracta de la geometr¨ªa del programa de Erlangen de Felix Klein: el espacio es ahora cualquier conjunto en el que se haya definido un grupo de transformaciones, siendo la b¨²squeda de los invariantes la principal tarea de los ge¨®metras. Ese empe?o, a hombros de gigantes como Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann y tantos otros, nos conducir¨ªa a la relatividad general y a las modernas teor¨ªas cosmol¨®gicas.

El m¨¦todo de Durero y de los otros genios del Renacimiento fue posteriormente enriquecido a?adi¨¦ndole la perspectiva en la direcci¨®n vertical, o perspectiva a¨¦rea. Luego los cubistas lo deconstruyeron introduciendo diversos puntos de vista en distintas partes del mismo cuadro, lo que nos llevar¨ªa a Picasso y al concepto moderno de variedad topol¨®gica.

Antonio C¨®rdoba es catedr¨¢tico em¨¦rito de la Universidad Aut¨®noma de Madrid, miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas y acad¨¦mico de honor de la Academia de Ciencias de la Regi¨®n de Murcia.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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