?Cu¨¢ntos d¨ªgitos tiene que tener un n¨²mero para ser infinito?

Si tuvi¨¦ramos como respuesta un n¨²mero de d¨ªgitos concreto ya no ser¨ªa un n¨²mero infinito. Lo realmente importante, cuando hablamos de n¨²meros infinitos, es que no van a tener fin. Por lo tanto, si decimos, por ejemplo, un mill¨®n de d¨ªgitos, ese n¨²mero ya es finito porque siempre podemos pensar en a?adir un d¨ªgito m¨¢s. Pero la pregunta tiene mucho sentido y ha dado lugar a distintas paradojas a lo largo de la historia de las matem¨¢ticas.

La concepci¨®n de infinito es relativamente nueva y, en parte, se debe al sistema de numeraci¨®n que tenemos. Civilizaciones como la egipcia o la azteca, con sistemas de numeraci¨®n no posicionales, nunca se plantearon cantidades superiores a ciertos valores, ya que ni siquiera dispon¨ªan de s¨ªmbolos que les permitiesen representar dichas cantidades y, por lo tanto, lo mismo ocurr¨ªa con el concepto de infinito. Sin embargo, el infinito s¨ª subyac¨ªa de manera impl¨ªcita en los sistemas posicionales como nuestro sistema de numeraci¨®n y la forma en que se representan las cantidades resulta clave para producir una noci¨®n intuitiva del infinito. En el siglo XX, el matem¨¢tico alem¨¢n David Hilbert afirmaba que el infinito no lo encontramos en la realidad. Argument¨® que no es posible dividir la materia indefinidamente y que el infinito puede ser una noci¨®n necesaria en nuestro pensamiento, aunque no exista en la realidad. La noci¨®n de infinito parec¨ªa estar rigurosamente definida, pero sigui¨® siendo causa de controversias y paradojas.

Actualmente, el infinito distingue dos acepciones en matem¨¢ticas. La primera de ellas, el infinito tomado como aquello que no tiene fin, que siempre puede continuar y a la que en matem¨¢ticas denominamos infinito potencial. La segunda, el infinito considerado como una totalidad, un proceso acabado y con sus l¨ªmites alcanzados, pensar en el conjunto de todos los n¨²meros sin pensar en cada uno de ellos, al que denominamos infinito actual. Pero debes saber que algunos de los grandes matem¨¢ticos como el franc¨¦s Augustin Louis Cauchy o el alem¨¢n Carl Friedrich Gauss negaron la existencia de este infinito actual.

Volviendo a tu pregunta, como te dec¨ªa, el sistema de numeraci¨®n actual permite reflexionar sobre el concepto de infinito. En este caso si tenemos un n¨²mero de determinados d¨ªgitos, los que sean, siempre podemos pensar en un n¨²mero con un d¨ªgito m¨¢s, por lo que no es infinito. Es decir, no existe ese valor.

Pero que no exista ese n¨²mero no quiere decir que no exista el infinito. Si hablamos de n¨²meros siempre podemos a?adirle un d¨ªgito m¨¢s por lo que no es infinito. Esa es, por ejemplo, la concepci¨®n que ten¨ªa Gauss. Pero desde finales del siglo XIX, el concepto cambi¨®. En esa ¨¦poca se propone el infinito actual y consiste en definir el infinito como una totalidad, como los l¨ªmites. Ese paso permite relacionar el infinito con los l¨ªmites de funciones o de sucesiones. Por ejemplo, si pensamos en una sucesi¨®n con los n¨²meros pares: 2, 4, 6, 8, 10¡­ Esa sucesi¨®n crece indefinidamente y siempre podemos pensar un n¨²mero mayor. El l¨ªmite de esa sucesi¨®n es infinito. Pero si pensamos en una sucesi¨®n que sea: 1, 1/3, 1/4, 1/5¡­ Esa sucesi¨®n es decreciente aunque no decrece a menos infinito, va decreciendo hacia 0, pero nunca se llega a 0. Si pudi¨¦semos poner infinitas cifras en el denominador de esa fracci¨®n llegar¨ªamos al 0, pero solo llegamos a obtenerlo en el l¨ªmite, es decir, la sucesi¨®n tiene l¨ªmite 0 cuando el denominador tiende a infinito.

Y con funciones es similar; si con sucesiones hablamos de n¨²meros naturales, con las funciones estar¨ªamos hablando de n¨²meros reales. Los n¨²meros reales son aquellos que nos permiten representar todos los valores sobre una recta, una l¨ªnea infinita que contiene los n¨²meros negativos y los positivos e incluyen, entre otros, a los n¨²meros naturales. Esto son los que se usan para contar elementos: 1, 2, 3, 4¡­ y as¨ª hasta el infinito.

M¨®nica Arnal Palaci¨¢n es licenciada en Matem¨¢ticas y doctora en Educaci¨®n. Profesora en la Universidad de Zaragoza, investiga did¨¢ctica de las matem¨¢ticas.

Pregunta enviada v¨ªa email por??ngel Gael Romero

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