Matem¨¢ticas ancestrales

La impropiamente denominada ecuaci¨®n de Pell (Euler se la atribuy¨® err¨®neamente), de la que nos hemos ocupado en semanas anteriores, ya fue estudiada en la antig¨¹edad, tanto en India como en Grecia, sobre todo la de coeficiente 2, es decir, x? ¨C 2y? = 1. Debido a su relaci¨®n con la ra¨ªz cuadrada de 2, el primero de los n¨²meros irracionales en ser descubierto (como diagonal de un cuadrado de lado 1), que tanto ...

La impropiamente denominada ecuaci¨®n de Pell (Euler se la atribuy¨® err¨®neamente), de la que nos hemos ocupado en semanas anteriores, ya fue estudiada en la antig¨¹edad, tanto en India como en Grecia, sobre todo la de coeficiente 2, es decir, x? ¨C 2y? = 1. Debido a su relaci¨®n con la ra¨ªz cuadrada de 2, el primero de los n¨²meros irracionales en ser descubierto (como diagonal de un cuadrado de lado 1), que tanto perturb¨® a los pitag¨®ricos (hasta el punto de que se cuenta que intentaron ocultar el descubrimiento).

Porque si x e y son enteros positivos que satisfacen esta ecuaci¨®n, entonces x/y es una buena aproximaci¨®n a ¡Ì2 (?por qu¨¦?). As¨ª, 17 y 12 son soluciones de la ecuaci¨®n y 17/12 = 1,41666¡­ Cuanto mayores son x e y, mayor es la aproximaci¨®n; el matem¨¢tico indio Baudhayana (que seg¨²n algunos podr¨ªa haber demostrado el teorema de Pit¨¢goras antes que los griegos) descubri¨® la soluci¨®n x = 577, y = 408, y 577/408 = 1,4142156¡­ Recordemos que ¡Ì2 = 1,4142135¡­, por lo que la aproximaci¨®n de Baudhayana se desv¨ªa del valor real en apenas un par de millon¨¦simas.

Y hablando de grandes matem¨¢ticos de la antig¨¹edad, Arqu¨ªmedes us¨® un m¨¦todo similar para buscar un valor aproximado de la ra¨ªz cuadrada de 3 y hall¨® la fracci¨®n 1351/780 = 1,7320512¡­, un valor exacto hasta el quinto decimal, puesto que ¡Ì3 = 1,7320508¡­

En cuanto al problema de la moneda y la cuadr¨ªcula, he aqu¨ª lo que se?ala nuestro comentarista habitual Luca Tanganelli:

¡°Nada cambia entre lanzar la moneda sobre la cuadr¨ªcula o escoger un punto al azar de un plano sobre el que se ha superpuesto una matriz de discos. En este caso no hay duda: la probabilidad es la relaci¨®n entre el ¨¢rea del disco y la de su cuadrado circunscrito: ¦Ð/4¡å.

Una elegante manera de convertir un problema en otro equivalente y m¨¢s simple.

Y con respecto a la ampliaci¨®n del problema de la cuadr¨ªcula planteada la semana pasada, la probabilidad de que la moneda caiga sobre un v¨¦rtice no es la misma que la de que su circunferencia tenga 4 puntos de intersecci¨®n con las l¨ªneas de la cuadr¨ªcula, pues esta probabilidad es 1. ?Por qu¨¦? Intenta contestar antes de seguir leyendo.

Paradojas de la probabilidad y el infinito

Como hemos visto en m¨¢s de una ocasi¨®n, el c¨¢lculo de probabilidades es fuente continua de paradojas, y el infinito a¨²n m¨¢s; de modo que si aplicamos el c¨¢lculo de probabilidades a un n¨²mero infinito de posibilidades, las paradojas aparecen por partida doble (a este respecto, en la secci¨®n de comentarios de la semana pasada hay un interesante debate sobre la probabilidad de extraer al azar un n¨²mero par del conjunto de los naturales).

La paradoja b¨¢sica en relaci¨®n con la extra?a pareja formada por la probabilidad y el infinito es la no identidad entre imposibilidad y probabilidad 0. Un suceso imposible tiene probabilidad 0 de ocurrir (por ejemplo, sacar un 7 lanzando un dado con las caras numeradas del 1 al 6: 0/6 = 0); pero un suceso con probabilidad 0 puede no ser imposible. Por ejemplo, si trazamos sobre un plano una recta al azar, la probabilidad de que sea paralela a otra recta dada es 0, ya que hay infinitos casos posibles y solo uno favorable; pero, obviamente, no es imposible que las rectas sean paralelas.

He aqu¨ª un cl¨¢sico en esta l¨ªnea:

En un bosque infinito los ¨¢rboles est¨¢n dispuestos formando una cuadr¨ªcula, cada uno a 5 metros de los contiguos. Con la espalda apoyada en uno de los ¨¢rboles, disparas horizontalmente un fusil sin apuntar, ?cu¨¢l es la probabilidad de que la bala se incruste frontalmente en otro ¨¢rbol? Se supone que no hay rozamiento ni gravedad y que la bala no se detendr¨¢ mientras no sea interceptada por un obst¨¢culo.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aqu¨ª para recibir nuestra newsletter semanal.