Problemas con moraleja

La soluci¨®n m¨¢s sencilla y elegante al primer problema de la semana pasada es que hay 7 velas y duran 7 d¨ªas: puesto que una vela tarda 4 horas en consumirse por completo, disponemos de 28 ¡°horas-vela¡±, y gastamos 1 el primer d¨ªa, 2, el segundo, 3 el tercero¡­ y 7 el s¨¦ptimo, o sea, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Pero¡­, ?es esta la ¨²nica soluci¨®n posible? (Ver ¨²ltimos comentarios de la semana pasada).

En cuanto al anciano apesadumbrado por la fugacidad del tiempo, celebra su cumplea?os el 31 de diciembre: el 30 ten¨ªa 77 velitas de (no ¡°en¡±, peque?o error del enunciado) su tarta de cumplea?os anterior, el 31 cumpli¨® 78 y el 1 de enero pens¨® que al a?o siguiente cumplir¨ªa 80.

¡°En el tercer problema ¡ªdice nuestro usuario destacado Francisco Montesinos¡ª, conviene tomar como unidad de medida los x cm que le quedan a la vela m¨¢s fina una vez transcurrido el tiempo t que se busca. Llamando d1 y d2 a las disminuciones sufridas por cada vela es inmediato que d1 = 15x y d2 = 12x. As¨ª pues, t = (d1/v1) = (d2/v2) = (15x/4x) horas = (15/4) horas = 3h 45m¡±.

Al cabo de 3 horas, la vela larga del cuarto problema, puesto que tarda 7 horas en consumirse por completo, habr¨¢ gastado 3/7 de su altura y medir¨¢, por tanto, 16 cm, y mientras la vela corta gastar¨¢ 3/11 de su altura inicial, h; en consecuencia (puesto que quedan 8/11 de vela), 8h/11 = 16, de donde h = 22 cm.

Extra?os parientes y metaproblemas

Se ha convertido en un cl¨¢sico el rompecabezas (en su d¨ªa utilizado para seleccionar a personas creativas) consistente en unir 9 puntos dispuestos en forma de cuadr¨ªcula de 3 x 3 con solo 4 trazos rectil¨ªneos, sin levantar el l¨¢piz del papel ni pasar dos veces por el mismo trazo. Pero la conocida soluci¨®n de la figura no es ¨²nica, ?puedes hallar otra? Y el metaproblema de rigor: ?cu¨¢l es la moraleja?

O, dicho de otro modo, ?por qu¨¦ mucha gente no consigue resolver el problema e incluso llega a la conclusi¨®n de que es imposible unir los puntos con menos de 5 trazos? ?Cu¨¢l es el obst¨¢culo mental que dificulta dar con una soluci¨®n que, una vez conocida, resulta sencilla?

Y un segundo metaproblema relacionado con otro cl¨¢sico, del que ya nos ocupamos hace un par de a?os: la divisi¨®n de un tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo en acut¨¢ngulos. Si a¨²n no lo conoces, dedica unos minutos a intentar la divisi¨®n antes de pasar al metaproblema, que es el siguiente:

La uni¨®n de 9 puntos con 4 trazos y la divisi¨®n de un tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo en acut¨¢ngulos no parecen tener nada que ver, y, sin embargo, son dos problemas estrechamente relacionados. ?Cu¨¢l es su relaci¨®n?

Y, como colof¨®n, otros dos cl¨¢sicos con moraleja y tambi¨¦n relacionados entre s¨ª en funci¨®n del tipo de dificultad que entra?a su resoluci¨®n: un campesino amante de la geometr¨ªa quiere plantar en su terreno cuatro ¨¢rboles de forma que cada uno de ellos diste lo mismo de los otros tres. ?Puede conseguirlo o es imposible?

Con 6 cerillas es f¨¢cil formar un hex¨¢gono regular. Y moviendo solo 2 cerillas y a?adiendo una m¨¢s puedes formar, a partir del hex¨¢gono, dos rombos iguales, sin que sobre ninguna cerilla y usadas en toda su longitud. Y, m¨¢s dif¨ªcil todav¨ªa, con las 6 cerillas puedes formar 4 tri¨¢ngulos equil¨¢teros. ?C¨®mo?

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