Las nueve cifras y el cambiante cero

Sobre el primer problema de la semana pasada, he aqu¨ª lo que comenta Ra¨²l Toral: ¡°Esto es un ejemplo de un ¡®oboe¡¯ (off by one errors). Al contar la duraci¨®n de las 6 campanadas contamos el tiempo desde la primera hasta la ¨²ltima. Durante este tiempo han transcurrido 5 intervalos (de la primera campanada a la segunda, de la segunda a la tercera, de la tercera a la cuarta, de la cuarta a la quinta y de la quinta a la sexta). Por tanto, cada intervalo ha durado 6/5=1.2 segundos. En las 12 campanadas has 11 intervalos que tardar¨¢ 11x1.2=13.2 segundos¡±.

En cuanto al problema del reloj de Kant, se simplifica bastante, sin variar el razonamiento b¨¢sico, si consideramos que el fil¨®sofo vuelve inmediatamente a su casa tras ver la hora en el reloj de su amigo. Supongamos que el reloj parado marcaba las 2. Kant le da cuerda, va a casa de su amigo, cuyo reloj marca las 5, vuelve a casa y ve que su reloj marca ahora las 3, lo que significa que ha tardado una hora en ir y volver, es decir, que ha pasado media hora desde que vio que eran las 5 en el reloj de su amigo; por lo tanto, son las 5.30.

Acertijos aritm¨¦ticos

Las nueve cifras y el cambiante cero es un verso de Borges, que en el primer cuarteto de su soneto El enamorado dice:

Lunas, marfiles, instrumentos, rosas,

l¨¢mparas y la l¨ªnea de Durero,

las nueve cifras y el cambiante cero,

debo fingir que existen esas cosas.

Y tambi¨¦n es el t¨ªtulo de un delicioso libro del matem¨¢tico colombiano Bernardo Recam¨¢n, en el que, tal como dicho t¨ªtulo sugiere, abundan los acertijos aritm¨¦ticos, algunos f¨¢ciles y otros no tanto, muchos ideados por el propio autor y todos interesantes e ingeniosos. Veamos tres de ellos:

1. Le pregunt¨¦ a mi vecino cu¨¢ntos nietos ten¨ªa y me contest¨®: ¡°Cada uno tiene una edad diferente y la suma de sus edades es 73, mi propia edad. Y ning¨²n otro conjunto de n¨²meros enteros diferentes cuya suma sea 73 tiene un producto mayor que el de las edades de mis nietos¡±.

?Cu¨¢ntos nietos tiene el vecino y qu¨¦ edades tienen?

2. Algunos de los 5.000 miembros de la Sociedad Aritm¨¦tica Mundial (cada uno de los cuales tiene un n¨²mero de afiliaci¨®n diferente entre 1 y 5.000) se reunieron para discutir un problema, y al hacer cola para tomar un refresco descubrieron que sus n¨²meros de afiliaci¨®n formaban un conjunto de n¨²meros consecutivos, y que ninguno de los miembros quedaba al lado de alguien cuyo n¨²mero fuera coprimo del propio. (Recordemos que n¨²meros coprimos o primos entre s¨ª son los que no tienen m¨¢s divisores comunes que el 1).

?Cu¨¢ntos miembros se reunieron y cu¨¢les eran sus n¨²meros de afiliaci¨®n?

3. El cuadrado de un n¨²mero y su cubo normalmente comparten al menos un d¨ªgito, aunque no siempre; por ejemplo, el cuadrado de 14, 196, y su cubo, 2.744, no comparten ninguno.

?Cu¨¢l es el mayor n¨²mero que puedes encontrar cuyo cuadrado y cuyo cubo no comparten ning¨²n d¨ªgito?

La secuencia de Recam¨¢n

Adem¨¢s de por sus libros de matem¨¢tica recreativa, Bernardo Recam¨¢n es conocido, sobre todo en el ¨¢mbito de las ciencias de la computaci¨®n, por la secuencia que lleva su nombre. En realidad hay dos secuencias atribuidas a Recam¨¢n, pero esta es la m¨¢s conocida:

0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62¡­

?Qu¨¦ n¨²meros siguen?

La imagen principal de este art¨ªculo muestra una visualizaci¨®n de la secuencia de Recam¨¢n.

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