La aritm¨¦tica del reloj

En los comentarios de las ¨²ltimas semanas, y en funci¨®n de algunos de los problemas planteados recientemente, aparece a menudo el concepto de congruencia.

En teor¨ªa de n¨²meros (tambi¨¦n hay una congruencia geom¨¦trica), se dice que dos n¨²meros enteros son congruentes cuando dan el mismo resto al dividirlos por un tercero, llamado m¨®dulo. As¨ª, 7 y 19 son congruentes respecto a 4 porque ambos, al dividirlos por 4, dan como resto 3.

Algunas congruencias son evidentes; por ejemplo, todos los n¨²meros impares son congruentes con respecto a 2, puesto que todos dan 1 como resto al dividirlos por 2 (?qu¨¦ podemos decir, en este sentido, de los n¨²meros terminados en 1?).

La relaci¨®n de congruencia se expresa mediante tres trazos paralelos y el m¨®dulo entre par¨¦ntesis:

a ¡Ô b (mod m)

significa que a y b son congruentes respecto a m.

La congruencia tambi¨¦n se puede definir como la relaci¨®n entre dos n¨²meros enteros cuya diferencia es divisible por un tercero. Si a y b son congruentes respecto a m, dan el mismo resto, r, al dividirlos por m, de donde:

a = pm + r

b = qm + r

siendo p y q n¨²meros enteros, y por tanto:

a ¨C b = (p ¨C q)m

luego a ¨C b es divisible por m.

La congruencia es la base de la aritm¨¦tica modular, introducida por Gauss a principios del siglo XIX con su libro Disquisitiones Arithmeticae. Y la aritm¨¦tica modular se conoce tambi¨¦n como ¡°aritm¨¦tica del reloj¡±, porque los relojes ilustran de manera muy gr¨¢fica la relaci¨®n de equivalencia de las horas respecto al m¨®dulo 12: as¨ª, las 7 y las 19 horas son representadas en los relojes convencionales de la misma manera: con la aguja mayor en el 12 y la menor en el 7.

Relojes problem¨¢ticos

No se puede hablar de aritm¨¦tica del reloj sin pensar en los numerosos problemas y acertijos (unos muy conocidos y otros no, unos f¨¢ciles y otros no tanto) que tienen a los relojes como protagonistas. Constituyen todo un apartado de los problemas de ingenio, que a su vez cabe dividir en tres subapartados: relojes de agujas, relojes de arena y relojes digitales. Veamos algunos del primer tipo:

Un reloj de soner¨ªa, de los que dan las horas con campanadas, tarda 6 segundos en dar las 6. ?Cu¨¢nto tardar¨¢ en dar las 12?

Cerca de mi casa hay dos relojes que dan las horas a distintas velocidades: uno da tres campanadas en el mismo tiempo en que el otro da dos. Est¨¢n sincronizados y empiezan a sonar al mismo tiempo. ?A qu¨¦ hora el reloj lento da dos campanadas m¨¢s cuando el r¨¢pido ha dejado de sonar? (Basado en hechos reales, como el ¨²ltimo).

A las 12 en punto, las tres agujas del reloj ¡ªla horaria, el minutero y el segundero¡ª coinciden exactamente (presentan armas al Sol, que dir¨ªa Ram¨®n G¨®mez de la Serna). ?Cu¨¢ndo volver¨¢n a coincidir las tres?

Y como colof¨®n, un cl¨¢sico bien conocido, pero de obligada menci¨®n en este contexto. Cl¨¢sico e hist¨®rico, pues la an¨¦cdota es real:

Una tarde, Kant vio que el reloj de su casa se hab¨ªa parado. Poco despu¨¦s fue caminando a visitar a un amigo, en cuya casa se fij¨® en la hora que marcaba un reloj de pared. Tras conversar un buen rato con su amigo, Kant regres¨® a su casa por el mismo camino, andando, como de costumbre, con el paso constante y regular que no hab¨ªa cambiado en veinte a?os. No ten¨ªa la menor idea de cu¨¢nto hab¨ªa tardado en hacer el camino de regreso, pues su amigo se hab¨ªa mudado recientemente y Kant todav¨ªa no hab¨ªa cronometrado el trayecto. Sin embargo, en cuanto lleg¨® a su casa puso el reloj en hora. ?C¨®mo lo hizo?

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