La paradoja de Simpson

Con respecto a la paradoja de Ellsberg, vista la semana pasada, esto es lo que dice nuestro ¡°usuario destacado¡± Manuel Amor¨®s:

Podr¨ªamos pensar que la situaci¨®n de las bolas amarillas y negras es sim¨¦trica y, por tanto, la probabilidad de sacar amarilla es la misma que la de sacar negra, lo que unido a que la probabilidad de sacar roja es 1/3, nos lleva a que las tres probabilidades son iguales. En tal caso es indiferente elegir A o B. Y algo parecido ocurre en la segunda elecci¨®n, donde la probabilidad de ganar es 2/3 en ambos casos.

Entiendo que la situaci¨®n propuesta ser¨ªa equivalente a la siguiente: tenemos 61 urnas. En todas hay 30 bolas rojas. En la primera urna hay, adem¨¢s, 0 bolas negras y 60 amarillas; en la segunda, 1 blanca y 59 amarillas, etc. Se elige una urna al azar y se saca una bola. Modelizado as¨ª se ve que los tres colores tienen la misma probabilidad y desaparece el misterio.

(Seguro que mis sagaces lectoras/es advierten alg¨²n paralelismo con el problema de las bolas blancas y negras de Abdul, en la entrega El condenado y las urnas, dedicada a George Gamow).

Efecto Yule-Simpson

La teor¨ªa de la decisi¨®n, ligada al c¨¢lculo de probabilidades, da lugar a otras interesantes paradojas. Veamos un ejemplo:

Tienes que pasar tres pruebas consecutivas. En la primera prueba, hay dos bolsas, A1 y B1, en las que hay, respectivamente, 6 bolas blancas y 5 negras, y 4 bolas blancas y 3 negras. Tienes que elegir una de las dos bolsas (cuyos contenidos conoces) y sacar una bola al azar. Si es negra, quedas eliminado, y si es blanca pasas a la siguiente prueba.

En la segunda prueba, hay otras dos bolsas, A2 y B2, en las que hay, respectivamente, 3 bolas blancas y 6 negras, y 5 bolas blancas y 9 negras. Eliges una bolsa, metes la mano, y si sacas una bola blanca pasas a la prueba siguiente.

En la tercera prueba, tienes que elegir entre la bolsa A, en la que se han juntado las bolas de A1 y A2, y la bolsa B, en la que se han juntado las bolas de B1 y B2 (tras reintroducir las sacadas anteriormente), y, una vez m¨¢s, ganas si sacas una bola blanca. ?Qu¨¦ bolsa elegir¨ªas en cada caso? ?Te sorprende tu propia respuesta? ?Por qu¨¦?

Este experimento ilustra una paradoja de la teor¨ªa de la decisi¨®n, bien conocida por los estad¨ªsticos, denominada ¡°paradoja de Simpson¡± en honor al recientemente fallecido matem¨¢tico brit¨¢nico Edward H. Simpson, famoso por ser el criptoanalista que descifr¨® los mensajes de la Armada italiana durante la Segunda Guerra Mundial. En realidad, la paradoja ya hab¨ªa sido mencionada en 1903 por el estad¨ªstico escoc¨¦s George Udny Yule, y, por otra parte, algunos no la consideran una paradoja propiamente dicha, por lo que prefieren denominarla ¡°efecto Yule-Simpson¡±.

Adem¨¢s del experimento descrito, hay numerosas situaciones reales que ilustran este equ¨ªvoco efecto. Uno de los ejemplos m¨¢s conocidos es el de la demanda contra la Universidad de California, Berkeley, en 1973, por discriminaci¨®n contra las mujeres. Los resultados de las admisiones para el posgrado parec¨ªan claramente discriminatorios:

Hombres: 8.442 solicitudes, 3.714 admisiones (44%)

Mujeres: 4.321 solicitudes, 1.512 admisiones (35%)

Sin embargo, un an¨¢lisis pormenorizado de los datos demostr¨® que no hab¨ªa habido tal discriminaci¨®n y la demanda fue desestimada. ?C¨®mo es posible? ?Se te ocurre alg¨²n posible desglose de los datos que d¨¦ lugar a esta conclusi¨®n? ?Y c¨®mo definir¨ªas el efecto Yule-Simpson a la vista del experimento de las bolas y de este caso real de falsa discriminaci¨®n? (Pista: el efecto Yule-Simpson se conoce tambi¨¦n como ¡°paradoja de la amalgamaci¨®n¡± y ¡°paradoja de la reversi¨®n¡±).

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, X e Instagram, o apuntarte aqu¨ª para recibir nuestra newsletter semanal.