El tri¨¢ngulo de Jayam

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada por una f¨®rmula que permitiera hallar el en¨¦simo n¨²mero tetra¨¦drico en funci¨®n de n sin necesidad de sumar los n primeros n¨²meros triangulares; hela aqu¨ª (?puedes demostrarla?):

Tn = n(n + 1)(n + 2)/6

En el caso de n = 22:

22 x 23 x 24/6 = 2024

Por lo tanto, la f¨®rmula confirma que 2024 es el vig¨¦simo segundo n¨²mero tetra¨¦drico.

En cuanto a la segunda pregunta de la semana pasada, hay cuatro n¨²meros que son a la vez tetra¨¦dricos y triangulares, los dos primeros f¨¢ciles de hallar y los otros dos no tanto: 10, 120, 1540 y 7140 (?es casual que todos terminen en 0?), que son, respectivamente, el tercer, el octavo, el vig¨¦simo y el trig¨¦simo cuarto n¨²mero tetra¨¦drico (as¨ª como el 4?, 15?, 55? y 119? n¨²mero triangular).

Y con respecto a la tercera pregunta, la m¨¢s dif¨ªcil (por no decir imposible a nivel de matem¨¢tica recreativa), solo hay tres n¨²meros tetra¨¦dricos que son cuadrados perfectos, como demostr¨® A. J. Meyl en 1878. Los dos primeros son triviales: T1 = 1 y T2 = 4, pero el tercero es dif¨ªcilmente alcanzable: T48 = 140? = 19600.

Dicho sea de paso, el ¨²nico n¨²mero tetra¨¦drico que es tambi¨¦n un n¨²mero piramidal cuadrado es el 1, como demostr¨® el matem¨¢tico holand¨¦s Frits Beukers en 1988. Obs¨¦rvese el contraste entre la facilidad de encontrar el 1 como n¨²mero coincidente y la dificultad de demostrar que es el ¨²nico.

El tri¨¢ngulo de Pascal, Tartaglia, Jayam¡­

Si observamos el famoso tri¨¢ngulo de Pascal, tambi¨¦n conocido como tri¨¢ngulo de Tartaglia, en el que, en cada fila, los n¨²meros comprendidos entre los 1 laterales son la suma de los dos que tiene justo encima, vemos que la tercera diagonal, tanto por la derecha como por la izquierda, es la secuencia de los n¨²meros triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28¡­, mientras que en la cuarta diagonal tenemos los tetra¨¦dricos: 1, 4, 10, 20, 35, 56¡­

En Occidente este fascinante tri¨¢ngulo num¨¦rico se conoce como tri¨¢ngulo de Pascal o de Tartaglia, en honor del matem¨¢tico franc¨¦s y el algebrista italiano que lo estudiaron en profundidad; pero en realidad ya era conocido en Oriente desde mucho antes. En el siglo XI, los matem¨¢ticos persas Al-Karay¨ª y Omar Jayam analizaron extensamente sus propiedades, por lo que en Ir¨¢n y otros pa¨ªses orientales se lo conoce como tri¨¢ngulo de Jayam. Y los chinos, como en casi todo, tienen sus propios precursores, como Jia Xian (1010-1070) y, muy especialmente, Yang Hui (1238-1298), que tambi¨¦n estudi¨® los cuadrados m¨¢gicos y las potencias de binomios, por lo que en China el tri¨¢ngulo num¨¦rico se conoce como tri¨¢ngulo de Yang Hui.

Y si este tri¨¢ngulo tienen muchos nombres, muchos m¨¢s son los tesoros matem¨¢ticos que esconde. Invito a mis sagaces lectoras/es a buscar algunos:

?C¨®mo se relaciona el tri¨¢ngulo de Jayam (yo prefiero llamarlo as¨ª en honor del gran poeta y matem¨¢tico persa) con el n¨²mero e?

?Podemos localizar en ¨¦l la sucesi¨®n de Fibonacci?

?Puede servir para determinar la primalidad de un n¨²mero?

Sin embargo, que yo sepa, y pese a que el n¨²mero ¦Ð aparece donde menos se lo espera, no hay manera de relacionarlo con nuestro vers¨¢til tri¨¢ngulo num¨¦rico. ?O s¨ª?

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