Los puzles de MacMahon

Para determinar el n¨²mero de cuadrados de MacMahon, de los que vimos un peque?o avance la semana pasada, Rafael Granero recurre a lo que ¨¦l mismo denomina la cuenta de la vieja y Salva Fuster matiza diciendo que es ¡°cuenta de la vieja avanzada¡± (un concepto que habr¨ªa gustado a Fermi):

¡°3 colores tomados de 4 en 4 dan como resultado 81 combinaciones. A estas 81 hay que quitarles las combinaciones que, rotando el cuadrado, da como resultado figuras coloreadas iguales. Tenemos 3 resultados con todos los tri¨¢ngulos del mismo color. Estas pasan el filtro.

Tenemos 6 resultados con dos colores dispuestos de forma sim¨¦trica alternada (ARAR, por ejemplo), de estos hay que quedarse con 3 y despreciar los otros 3 que se generan girando 90¡ã.

Del resto, 72, que tienen 3 colores dispuestos de forma no sim¨¦trica o 2 colores de forma sim¨¦trica no alternada (AARR, por ejemplo), 3 de cada 4 son el resultado de girar 90¡ã, 180¡ã y 270¡ã grados uno de ellos, por lo que nos quedamos con 18 y despreciamos 54.

81 - 3 - 54 = 24 = 3 + 3 + 18

Es decir, el n¨²mero de combinaciones distintas al colorear con tres colores un cuadrado dividido en cuatro tri¨¢ngulos iguales es 24¡å.

Pero, como se?ala Juan Zubieta, si la cuenta de la vieja (aunque sea avanzada) nos parece excesivamente rudimentaria, podemos recurrir al lema de Burnside (pero ese es otro art¨ªculo).

De momento, centr¨¦monos en las interesantes posibilidades combinatorias de los cuadrados multicolores, que se prestan a proponer distintos retos. Por ejemplo, ?puedes formar con ellos un rect¨¢ngulo de 6?4 tal que los lados de las piezas en contacto sean siempre del mismo color y todo el per¨ªmetro del rect¨¢ngulo sea tambi¨¦n del mismo color?

Tambi¨¦n hay interesantes posibilidades combinatorias utilizando solo una parte de los cuadrados. Por ejemplo:

-Con las 15 piezas de solo uno o dos colores, construir un rect¨¢ngulo de 3?5.

-Con las 9 piezas restantes, de tres colores, construir un cuadrado de 3?3.

Como en el primer puzle, los lados en contacto tienen que ser siempre del mismo color.

Y adem¨¢s de puzles en solitario como los anteriores, los cuadrados de MacMahon se prestan a plantear distintos juegos para dos jugadores inspirados en el domin¨® (?se te ocurre alguno?).

En las tiendas especializadas hay versiones en madera o pl¨¢stico de los cuadrados multicolores. Y no es dif¨ªcil improvisar una versi¨®n casera (por ejemplo, imprimiendo una imagen de los 24 cuadrados sacada de la red, peg¨¢ndola en una hoja de cart¨®n y recortando las piezas).

Del cuadrado al cubo

Pasando del plano al espacio, y como ampliaci¨®n del tema de los cuadrados de MacMahon, cabe preguntar de cu¨¢ntas maneras distintas podemos colorear las seis caras de un cubo utilizando tres colores. Y la respuesta es 57 (?puedes demostrarlo?).

Una forma de abordar el problema es empezar por el caso trivial de un solo color (obviamente, solo hay una manera de colorear un cubo utilizando un solo color), seguir con dos colores (?cu¨¢ntos cubos distintos puede haber en blanco y/o negro?), resolver el caso de los 57 cubos con tres colores¡­ Y, para subir nota, obtener una f¨®rmula general para n colores.