Polinomios para construir edificios seguros

Empiezan las clases, y los estudiantes se enfrentan un a?o m¨¢s a las matem¨¢ticas escolares. Dentro del ¨¢lgebra que se estudia en el instituto un lugar destacado lo tienen los polinomios. ?Qu¨¦ es un polinomio? ?Cu¨¢l es su grado? ?Para qu¨¦ valores de las variables el polinomio vale cero (estos puntos se llaman ra¨ªces del polinomio)? En la escuela se aprende much¨ªsima teor¨ªa, pero pocas aplicaciones pr¨¢cticas. Sin embargo, el estudio de polinomios, y en concreto, la obtenci¨®n de sus ra¨ªces, se aplica en numerosos campos y, aunque son objetos sencillos de describir, muchos investigadores en todo el mundo trabajan en su c¨®mputo.

Podemos encontrar las ra¨ªces de polinomios en las teclas de un piano. Al pulsar una tecla se activa un martillo que golpea una cuerda que vibra a determinada frecuencia (velocidad), que es la que define la nota. Esta frecuencia es un n¨²mero, y, de hecho, es la ra¨ªz de un polinomio que se define a partir de las caracter¨ªsticas de la cuerda. Esto mismo sucede en cualquier instrumento, y a cualquier objeto que vibra.

Cuando un terremoto sacude un edificio, lo hace vibrar; tambi¨¦n cuando un avi¨®n se encuentra con turbulencias. Adem¨¢s de emitir una nota, se produce un efecto llamado resonancia, que puede llegar a ser destructivo. As¨ª sucedi¨® con el puente de Tacoma Narrows en 1940. Un fuerte viento sopl¨® a la velocidad justa (la frecuencia de resonancia del puente), haciendo que el puente se agitara fuertemente, aunque es posible que no fuera la causa final de su colapso. Actualmente las estructuras est¨¢n dise?adas para que sus notas de resonancia sean dif¨ªciles de reproducir en la naturaleza, por lo que este tipo de fen¨®menos son muy poco probables. Los ingenieros utilizan, de esta manera, el c¨¢lculo de ra¨ªces de polinomios.

Otra aplicaci¨®n muy com¨²n es la optimizaci¨®n. Esta t¨¦cnica matem¨¢tica permite usar de forma eficiente recursos escasos como el tiempo, la energ¨ªa o el dinero, siguiendo determinados objetivos. Las compa?¨ªas la emplean, por ejemplo, para decidir si es mejor gastar m¨¢s dinero en contratar m¨¢s empleados, remodelar la oficina, comprar m¨¢s productos que luego se vayan a vender, o dejarlo en el banco. Para poder establecer la estrategia ¨®ptima se resuelven, con ayuda de un ordenador, una serie de ecuaciones que reflejan cuanta inversi¨®n y cuanto beneficio se asocia a cada acci¨®n. Las estrategias ¨®ptimas se corresponden habitualmente con las ra¨ªces de las ecuaciones escritas.

Actualmente las estructuras est¨¢n dise?adas para que sus notas de resonancia sean dif¨ªciles de reproducir en la naturaleza

Sin embargo, el c¨¢lculo de las ra¨ªces no es siempre sencillo, y los matem¨¢ticos llevan siglos dedicados a este problema. Hay dos resultados clave sobre ello. El primero es el Teorema Fundamental del ?lgebra, que establece que todo polinomio de grado n (el mayor de los exponentes de la variable) tiene n ra¨ªces, algunas de ellas pueden ser m¨²ltiples, en el mundo de los n¨²meros complejos. De esta manera, sabemos exactamente cu¨¢ntas ra¨ªces debemos buscar. El segundo resultado es el llamado Teorema de Abel, que afirma que no hay una f¨®rmula general, que implique ¨²nicamente las operaciones b¨¢sicas, para obtener las ra¨ªces de los polinomios de grado cinco o mayor. Esto significa que en general, a partir de grado cinco, no es posible calcular las ra¨ªces de forma exacta mediante una f¨®rmula de este tipo, solo aproximaciones.

Lo cierto es que en las aplicaciones los polinomios suelen tener grados mucho mayor que cinco, por lo que se deben emplear aproximaciones, que han de ser lo suficientemente buenas. Ya los babil¨®nicos hac¨ªan aproximaciones mediantes m¨¦todos simples e ingeniosos. Sin embargo, tuvieron que pasar miles de a?os para que Isaac Newton desarrollara la primera f¨®rmula para aproximar ra¨ªces de polinomios de cualquier grado. Newton lo propuso en 1669, y hasta la d¨¦cada de 1960 sigui¨® vigente, debido a su simplicidad y eficacia. Entonces, despu¨¦s de la Segunda Guerra Mundial, la proliferaci¨®n de los ordenadores supuso un cambio dr¨¢stico. Los c¨¢lculos tediosos requeridos para las aproximaciones se pudieron automatizar y ejecutar en una breve fracci¨®n de tiempo. Con esta nueva tecnolog¨ªa naci¨® una nueva ¨¢rea de investigaci¨®n conocida como an¨¢lisis num¨¦rico, cuyo objetivo inicial era dise?ar programas de ordenador para calcular aproximaciones de las ra¨ªces de polinomios.

En la segunda mitad del siglo XX, el an¨¢lisis num¨¦rico sigui¨® creciendo, y fueron apareciendo diferentes f¨®rmulas para calcular ra¨ªces de polinomios. La mayor¨ªa se obten¨ªa a partir de viejas ideas, como la de Newton, convenientemente modificadas para poder ser resueltas de forma eficiente con un ordenador. Cada m¨¦todo tiene sus pros y sus contras. Por ejemplo, el m¨¦todo de Frobenius de matrices compa?eras da muy buenas aproximaciones pero supone m¨¢s trabajo de computaci¨®n que otras t¨¦cnicas, y la situaci¨®n empeora cuando crece el grado del polinomio. Matem¨¢ticos e ingenieros se dieron cuenta de que podr¨ªa mejorarse el m¨¦todo utilizando ciertas caracter¨ªsticas de los polinomios. Yo trabaj¨¦, junto a otros matem¨¢ticos, para proponer un perfeccionamiento que disminuye significativamente el tiempo de c¨¢lculo y mejora la precisi¨®n, que ha sido reconocido como uno de los mejores m¨¦todos para calcular ra¨ªces de polinomios por la Sociedad de Matem¨¢tica Industrial y Aplicada estadounidense. Gracias a estos avances conseguimos m¨¦todos cada vez m¨¢s sencillos y eficaces para calcular las ra¨ªces de los polinomios y, con ellas, entre otras cosas, dise?ar mejores edificios y obtener mejores soluciones para la distribuci¨®n de recursos.

Jared Aurentz es investigador postdoctoral Severo Ochoa en el ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.