Coches, cabras y probabilidad

A finales del pasado mes de septiembre falleci¨® Monty Hall, presentador (y uno de los creadores) de Let¡¯s Make a Deal, famoso concurso de la NBC que comenz¨® a emitirse en 1963 y estuvo en antena durante cuatro d¨¦cadas.

Quien m¨¢s quien menos sabr¨¢ ya de qu¨¦ vamos a hablar hoy, pero puede ser que haya gente que no tenga claro por qu¨¦ comenzamos un art¨ªculo de matem¨¢ticas hablando del presentador de un concurso. Pues la raz¨®n es bien sencilla: una de las pruebas del concurso sirvi¨® de inspiraci¨®n para crear la que, posiblemente, es la cuesti¨®n sobre probabilidad m¨¢s comentada, analizada y controvertida de la historia (al menos de la historia reciente): el problema de Monty Hall.

Seg¨²n parece, el problema fue propuesto por primera vez por Martin Gardner en la famos¨ªsima columna que escrib¨ªa en Scientific American, pero alcanz¨® altas cotas de popularidad cuando, en 1990, fue propuesto por Marilyn Vos Savant en una columna que escrib¨ªa en Parade Magazine. Sin m¨¢s pre¨¢mbulos, vamos con el planteamiento del mismo:

Supongamos que est¨¢s en un concurso en el que tienes que elegir una puerta de entre tres opciones. Sabes que en una de ellas hay un coche y que en las otras dos hay sendas cabras, y obviamente tu objetivo es conseguir ese coche.

Eliges una de las puertas y, justo despu¨¦s, el presentador (que sabe desde el principio lo que hab¨ªa detr¨¢s de cada una de ellas) abre una de las que no elegiste y muestra que detr¨¢s de ella hab¨ªa una cabra. A continuaci¨®n, te plantea que puedes quedarte con la puerta que elegiste al principio o que puedes cambiarla por la que a¨²n queda cerrada.

La pregunta es la siguiente: en t¨¦rminos de probabilidad, ?te interesa quedarte con tu puerta o, por el contrario, te interesa cambiarla por la otra?

Buscamos, por tanto, la opci¨®n que nos da mayor probabilidad de conseguir el coche seg¨²n las condiciones planteadas. ?Cu¨¢l pens¨¢is que es la mejor opci¨®n? ?Por qu¨¦?

Bueno, antes de plantearse esto quiz¨¢s habr¨ªa que pensar si en realidad hay una mejor opci¨®n. Cuando nos abren una de las puertas y vemos que hay una cabra, nos quedan dos puertas detr¨¢s de las cuales habr¨¢ una cabra y un coche. Dos puertas, dos opciones: o me quedo la m¨ªa o elijo la otra. Tiene pinta de ser una cuesti¨®n 50-50.

Hemos dicho que Marilyn Vos Savant propuso el problema, con la soluci¨®n, en su columna. A partir de la publicaci¨®n del mismo, Marilyn recibi¨® multitud de respuestas de los lectores, algunos de ellos matem¨¢ticos, que b¨¢sicamente la pusieron verde: que estaba equivocada, que la probabilidad de cada puerta era 1/2, que se leyera alg¨²n libro de probabilidad, que bastante incultura matem¨¢tica hab¨ªa ya en el pa¨ªs como para que ella contribuyera a ello¡­??hasta le dijeron: ¡°t¨² eres la cabra¡±!!

Pero la cuesti¨®n es que Marilyn Vos Savant ten¨ªa raz¨®n, su soluci¨®n era la correcta. Y vamos a verla ahora mismo.

En realidad s¨ª que hay una mejor opci¨®n, una opci¨®n que te da mayor probabilidad de conseguir el coche: la opci¨®n m¨¢s aconsejable es cambiar de puerta. Pens¨¦ en no escribir la soluci¨®n, en dejar que se hablara el tema en los comentarios, pero al final he decidido incluir la explicaci¨®n del mismo para ver si, de una vez por todas, conseguimos que este problema quede claro.

Partimos de tres puertas en las que podemos encontrar dos cabras y un coche. Eligiendo al azar, que es como elegir¨ªamos en un principio, la probabilidad de escoger la puerta del coche es 1/3 (1 coche y 3 puertas). Esta probabilidad no cambia cuando el presentador abre una de las puertas, por lo que cuando esto ocurre t¨² sigues teniendo probabilidad 1/3 de haber escogido el coche, por lo que la probabilidad de que el coche est¨¦ en la que queda cerrada es 1-1/3=2/3. Caso cerrado.

?Te has convencido ya? Por si acaso no es as¨ª, vamos a explicarlo de otra forma. En la siguiente imagen ten¨¦is una posible colocaci¨®n inicial de los objetos detr¨¢s de las puertas (pod¨¦is probar con las otras opciones y ver¨¦is que da igual) junto con el desenlace si eligierais cualquiera de las puertas (pod¨¦is ampliar la imagen haciendo click en ella):

Como pod¨¦is ver, de los tres posibles casos que se pueden presentar, en dos de ellos te interesa cambiar y en el otro te interesa no cambiar. Por tanto, la probabilidad de llevarte el coche si cambias es 2/3 y la de llev¨¢rtelo si no cambias es 1/3. Vamos, que te interesa cambiar de puerta.

Supongo que si todav¨ªa no estabas convencido ya lo has hecho, ?verdad? Bueno, como puede haber gente que todav¨ªa no se lo crea, dejo la siguiente variante del problema:

Imagina que no son tres, sino 100000, las puertas que tienes delante, y que hay un coche detr¨¢s de una de ellas y cabras tras las dem¨¢s. T¨² eliges una y el presentador, a continuaci¨®n, abre 99998 puertas con 99998 cabras tras ellas, dejando por tanto una sin abrir. ?De verdad que tendr¨ªas la misma probabilidad de ganar el coche tanto si te quedas con tu puerta como si cambias?