El m¨¦todo de Montecarlo

A primera vista, podr¨ªa parecer que el jugador que lanza los dos dados en el craps lleva las de perder en la primera jugada, pues, como vimos la semana pasada, gana si saca 7 u 11 y pierde si saca 2, 3 o 12: dos opciones de ganar contra tres de perder. Pero las posibilidades no son equiprobables: solo hay una manera de sacar 2 (1-1), dos de sacar 3 (1-2 y 2-1) y una de sacar 12 (6-6), mientras que hay seis maneras de sacar 7 (1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4, 4-3) y dos de sacar 11 (5-6, 6-5); por lo tanto, en la primera jugada el que lanza los dados tiene 8 formas de ganar contra 4 de perder. Pero no hay que caer en el error contrario: esto no significa que el juego sea ventajoso para ¨¦l, pues hay 36 parejas de caras posibles, y 24 de ellas no dan ninguna de las cinco puntuaciones anteriores. Por lo tanto, en primera jugada las probabilidades se distribuyen as¨ª: 8/36 de ganar, 4/36 de perder y 24/36 de que el juego entre en la segunda fase. Dos de cada tres veces el jugador tendr¨¢ que volver a lanzar los dados, y esto es lo que equilibra el juego; el c¨¢lculo, demasiado largo y engorroso para incluirlo aqu¨ª, muestra que las probabilidades de ganar son pr¨¢cticamente del 50% (como no podr¨ªa ser de otra manera, pues un juego no equitativo no habr¨ªa llegado a ser tan popular).

En cuanto a la falacia del jugador o falacia de Montecarlo, hay que precisar que, aunque ¡°los dados no tienen memoria¡± y el resultado de una tirada no depende de lo que haya sucedido en jugadas anteriores, esos resultados previos pueden darnos informaci¨®n sobre un posible sesgo de los dados, la ruleta o cualquier otro instrumento del azar, que en el mundo real no ser¨¢ tan puramente aleatorio como en el mundo abstracto de las matem¨¢ticas. De modo que, si al lanzar un dado muchas veces el 6 sale m¨¢s que el 5, no hay que apostar al 5 pensando que ahora le toca salir m¨¢s veces para compensar: por el contrario, hay que apostar al 6, pues posiblemente el dado sea defectuoso o est¨¦ cargado.

A la precisi¨®n por el azar

No hay que confundir la falacia de Montecarlo con el m¨¦todo de Montecarlo, del que ya hemos hablado en alguna ocasi¨®n, y que consiste en utilizar n¨²meros -o procesos- aleatorios para hallar el valor aproximado de una magnitud dif¨ªcil de calcular directamente. El m¨¦todo lleva el nombre del casino m¨¢s famoso del mundo por su relaci¨®n con los juegos de azar; de hecho, se le ocurri¨® al matem¨¢tico Stanislaw Ulam mientras hac¨ªa un solitario, al darse cuenta de que era mucho m¨¢s f¨¢cil determinar la probabilidad de ¨¦xito realizando una serie de pruebas al azar que calculando todas las combinaciones posibles. Y puesto que los ordenadores pueden realizar un enorme n¨²mero de pruebas por segundo, las simulaciones inform¨¢ticas permiten obtener resultados muy precisos mediante este m¨¦todo.

?Podr¨ªan nuestras/os sagaces lectoras/es hallar una buena aproximaci¨®n del n¨²mero ¦Ð mediante el m¨¦todo de Montecarlo, o proponer alguna otra aplicaci¨®n ingeniosa?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.