La madre de los enunciados f¨¢cil-dif¨ªcil

Hay muchos enunciados en matem¨¢ticas que por su sencillo planteamiento pueden parecer f¨¢ciles de demostrar, esos sobre los que cualquiera con tiza y pizarra podr¨ªa hacer comprobaciones. Pero cuando uno intenta meterles mano se da cuenta de que no, de que tras esa aparente sencillez se esconde una dificultad que cuesta mucho sobrepasar.

Algunos ejemplos famosos son el ¨²ltimo teorema de Fermat o el teorema de la curva de Jordan. Pero si tuvi¨¦ramos que elegir al m¨¢ximo exponente de estos enunciados ¡°f¨¢cil-dif¨ªcil¡± (f¨¢ciles de plantear y entender pero dif¨ªciles de demostrar), seguro que muchos elegir¨ªan a la famos¨ªsima conjetura de Goldbach.

A estas alturas, seguro que la gran mayor¨ªa de los lectores conocer¨¢n esta conjetura, pero por si acaso queda a¨²n alguien que no sepa de qu¨¦ estamos hablando os dejo su enunciado a continuaci¨®n:

Todo n¨²mero par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos n¨²meros primos.

Os dejo algunos ejemplos:

4 = 2 + 2

16 = 11 + 5

58 = 53 + 5

1000 = 997 + 3

Pod¨¦is intentar vosotros descomponer otros n¨²meros pares como suma de dos primos, y si con alguno no pod¨¦is os dejo esta p¨¢gina que lo hace por vosotros. Por cierto, no he sido capaz de encontrar el l¨ªmite de cifras de la p¨¢gina, a ver si alguien lo sabe y nos lo comenta.

La historia de este problema comienza en 1742, cuando Christian Goldbach se la propone al gran Leonhard Euler mediante el env¨ªo de esta carta (un apunte: en aquella ¨¦poca se consideraba al 1 como n¨²mero primo, pero ahora ya no es as¨ª).

Euler, el receptor de la carta, no consigui¨® ni demostrar ni refutar la conjetura que le env¨ªo Goldbach. Y, aunque no son pocos los matem¨¢ticos que le han dedicado tiempo desde entonces, nadie ha podido hasta ahora. Por tanto, actualmente seguimos sin respuesta para la conjetura de Goldbach.

La conjetura podr¨ªa ser cierta, pero no tenemos demostraci¨®n que lo acredite; y podr¨ªa ser falsa, pero tampoco tenemos demostraci¨®n de ese hecho ni un contraejemplo de la misma (un n¨²mero par que no pueda escribirse como suma de dos n¨²meros primos). Se sabe que lo que dice este enunciado es cierto para una gran cantidad de n¨²meros (todos los pares menores que 10¹⁸ lo verifican), pero por aqu¨ª ya sabemos que eso s¨®lo es un ¡°indicio de veracidad¡±, no nos sirve como demostraci¨®n (?os acord¨¢is de la conjetura de Polya?).

A d¨ªa de hoy, la conjetura de Goldbach sigue tal cual estaba en 1742: sin respuesta.

En la actualidad, a este resultado se le denomina conjetura fuerte de Goldbach, ya que hay otra parecida conocida como conjetura d¨¦bil de Goldbach. Esta dice lo siguiente:

Todo n¨²mero impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres n¨²meros primos.

La d¨¦bil se deduce de la fuerte, as¨ª que si tuvi¨¦ramos una demostraci¨®n de la fuerte autom¨¢ticamente la d¨¦bil quedar¨ªa demostrada; pero la fuerte no se deduce de la d¨¦bil, por lo que si tuvi¨¦ramos una demostraci¨®n de la d¨¦bil seguir¨ªamos sin saber si la fuerte es cierta o falsa.

?Se sabe algo de la d¨¦bil? Pues s¨ª, desde 2013 sabemos que la conjetura d¨¦bil de Goldbach es cierta. Esto fue demostrado por el matem¨¢tico peruano Harald Andr¨¦s Helfgott, y pod¨¦is ver las l¨ªneas generales de su demostraci¨®n aqu¨ª (en ingl¨¦s) y aqu¨ª (en espa?ol). Por si alguien se lo pregunta, lo comento aqu¨ª: seg¨²n indican los expertos en teor¨ªa de n¨²meros, las t¨¦cnicas usadas por Helfgott para demostrar la conjetura d¨¦bil de Goldbach no parecen ser ¨²tiles a la hora de afrontar la demostraci¨®n de la conjetura fuerte. Una l¨¢stima.

A pesar de que multitud de matem¨¢ticos han trabajado sobre este problema y lo han atacado con todo tipo de t¨¦cnicas (tanto b¨¢sicas como avanzadas), la conjetura de Goldbach, casi con toda seguridad, el problema matem¨¢tico abierto que m¨¢s personas ¡°creen¡± haber demostrado. En internet puedes encontrar algunas de estas supuestas demostraciones, y los correos electr¨®nicos de muchos matem¨¢ticos de la actualidad suelen recibir alguna con cierta frecuencia.

Yo mismo he recibido unas cuantas desde que me dedico a escribir sobre matem¨¢ticas. Algunas de ellas contienen errores (algunos de bulto); otras utilizan un lenguaje tan enrevesado (en ocasiones hasta incorrecto) que casi impiden su revisi¨®n; en otras ocasiones me he encontrado que con unos cuantos particulares pretenden dar la conjetura como demostrada; tambi¨¦n me he encontrado argumentos circulares (en alg¨²n lugar de la demostraci¨®n utilizan que la conjetura de Goldbach es cierta para demostrar la propia conjetura); y en otros casos lo que me ha llegado eran aut¨¦nticas locuras que no merec¨ªa la pena ni leer.

M¨¢s informaci¨®n

Un cuadrado triangulado de una forma muy especial

El curioso caso de la secuencia de Goodstein

De todas ellas, posiblemente el caso m¨¢s sonado de los ¨²ltimos tiempos fue la supuesta demostraci¨®n de la conjetura de Goldbach por parte de dos qu¨ªmicos espa?oles del CSIC. Despu¨¦s de investigar por mi cuenta, hablar con uno de los dos protagonistas y consultar a varios expertos, publiqu¨¦ mis conclusiones en este art¨ªculo. Evidentemente, su trabajo no demostraba nada.

Y, para terminar, comentar que la fama de la conjetura de Goldbach ha saltado de las matem¨¢ticas a otros campos. Un ejemplo muy conocido es la novela El t¨ªo Petros y la conjetura de Goldbach, de Apostolos Doxiadis, donde esta conjetura es protagonista destacada. Y otro ejemplo, m¨¢s ¡°patrio¡±, es la pel¨ªcula La habitaci¨®n de Fermat, en la que esta conjetura de Goldbach juega tambi¨¦n un papel principal. Si conoc¨¦is m¨¢s lugares tipo estos en los que aparezca la conjetura de Goldbach, estaremos encantados de que nos habl¨¦is de ellos en los comentarios.