Matem¨¢ticas para entender el cerebro

El funcionamiento del cerebro sigue siendo uno de los grandes misterios a los que se enfrenta la ciencia. Las preguntas son casi infinitas, y las respuestas, apenas incipientes. Sabemos que todos los procesos cerebrales (que permiten la visi¨®n, el habla, el movimiento) se basan en la transmisi¨®n de impulsos nerviosos entre diferentes tipos de neuronas pero, ?c¨®mo se coordinan para construir esas respuestas complejas? Explicar la sincronizaci¨®n neuronal es uno de los grandes retos de la neurociencia computacional, en las que las matem¨¢ticas son clave.

En la d¨¦cada de 1950 se propusieron los primeros modelos, que describ¨ªan de forma realista el funcionamiento de una neurona aislada. Trataban de reproducir, con sistemas de diferenciales, lo que se observar¨ªa mirando una neurona en funcionamiento con el microscopio. El modelo m¨¢s popular, de Alan Lloyd Hodgkin y Andrew Huxley, mostraba con bastante precisi¨®n c¨®mo se inicia y transmite el potencial de acci¨®n de la neurona a lo largo del tiempo, a partir de las cantidades de sodio, potasio, etc. en los canales i¨®nicos. En la neurociencia actual este modelo, que fue reconocido con el premio Nobel, se considera una buena descripci¨®n del funcionamiento de los diferentes tipos de neuronas.

Sin embargo, de cara a la comprensi¨®n de los procesos neuronales, no es interesante el estudio de una sola neurona, sino el comportamiento colectivo de conjuntos grande de ellas. Por ejemplo, ?de qu¨¦ manera act¨²an de forma conjunta las 10^7 c¨¦lulas del c¨®rtex (algunas capaces de distinguir colores, otras posiciones) que se emplean para la visi¨®n o el movimiento, para reconocer patrones y ser capaces de interpretar la imagen que se est¨¢ observando?

Los modelos de redes neuronales muestran un promedio de su actividad, usando como tasa el n¨²mero de descargas el¨¦ctricas por unidad de tiempo de toda una red (llamado firing rate), o de ciertas regiones de la misma. Matem¨¢ticamente, la dificultad radica en el cambio de escala, es decir, en establecer el firing rate de todas las neuronas de la red de forma rigurosa, incluyendo la descripci¨®n de los modelos microsc¨®picos.

Para ello, se emplea la llamada teor¨ªa cin¨¦tica, que permite mostrar con ecuaciones el comportamiento y propiedades macrosc¨®picas a partir de una descripci¨®n estad¨ªstica de los procesos moleculares microsc¨®picos. Estas ideas sirven como puente entre los modelos micro y macro, y actualmente est¨¢n en desarrollo. Jos¨¦ Antonio Carrillo de la Plata, investigador del Imperial College London, trabaja desde hace d¨¦cadas en estas cuestiones. Junto con Benoit Perthame (Paris VI) y Mar¨ªa C¨¢ceres (Universidad Granada), analizaron diversos modelos de fen¨®menos macrosc¨®picos. M¨¢s all¨¢ de desarrollar nuevas matem¨¢ticas, concluyeron que los modelos pod¨ªan producir soluciones que describen fen¨®menos biol¨®gicos nunca observados por los experimentalistas. Por tanto, no se correspond¨ªan completamente con la realidad observada, y era conveniente replantearlos. De esta manera, sus trabajos contribuyeron a mejorar algunos de los modelos empleados por neurocient¨ªficos.

Actualmente, Carrillo tiene un gran inter¨¦s en los que describen el funcionamiento de las c¨¦lulas de red (en ingl¨¦s grid cells), las neuronas que permiten entender a los humanos y otros animales cu¨¢l es su posici¨®n en el espacio. La existencia de estas c¨¦lulas, que constituyen el sistema de posicionamiento en el cerebro, fue propuesto por el cient¨ªfico ingl¨¦s John O'Keefe, y los noruegos May-Britt Moser y Edvard I. Moser, lo que les hizo merecedores del Premio Nobel de Medicina de 2014.

Malla virtual

Los investigadores observaron que estas neuronas funcionan como una malla virtual que almacena la informaci¨®n del movimiento, de manera que por ejemplo, una rata puede recorrer en la oscuridad un camino ya conocido. En los modelos matem¨¢ticos propuestos por O'Keefe, Moser y Moser, se cuantifica el firing rate de todas las redes neuronales que intervienen en el proceso, e identifican una coordinaci¨®n de esa tasa en las zonas que determinan la malla. En concreto, se observa una onda viajera, de manera que la malla avanza con el movimiento del animal.

Ahora Carrillo, junto a otros autores, est¨¢ analizando si estos modelos planteados se pueden obtener de manera rigurosa matem¨¢ticamente. La cuesti¨®n es, de nuevo, comprobar que estos modelos macrosc¨®picos son coherentes con la informaci¨®n facilitada por los modelos microsc¨®picos cl¨¢sicos, empleando ecuaciones en derivadas parciales y su simulaci¨®n num¨¦rica. Con este an¨¢lisis, se podr¨ªa determinar c¨®mo est¨¢n conectadas las neuronas en esta estructura, y c¨®mo se crean las ondas observadas. Sus avances podr¨ªan ser clave para mejorar los modelos actuales de las grid cells. En general, entender la sincronizaci¨®n de las redes neuronales de forma matem¨¢tica permite avanzar en el estudio detallado del cerebro y en las enfermedades que surgen por fallos de sincronicidad, como la epilepsia.

?gata A. Tim¨®n es responsable de Comunicaci¨®n y Divulgaci¨®n en el ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".